Residuos y Polos
Puntos Singulares Aislados
Un punto z0 se denomina punto singular de una función f si f no es analíticaen z0 pero es analítica en algún punto de todo entorno de z0 . Un punto singular z0 se dice que es aislado si, además, existe un entorno punteado 0 z z0 de z0 en el que f es analítica. Nota: El término disco abierto perforado en z0 también es muy usado para expresar lo que se entiende por entorno punteado de z0 (ver ejemplo 8 página 18).
1 es analítica en todo el plano complejo excepto en z 0 . z El origen es un punto singular aislado de la función dada ya que existe un entorno punteado 0 z 0 en z 0 donde f es analítica, lo que significa que f admite desarrollo de Laurent en este entorno.
Ejemplo 1. La función f ( z )
Para más detalles de la analiticidad de f re-examinar o repasar el ejemplo 1 de la sección 23 de coordenadas polares. La utilidad que se hará de lospuntos singulares aislados es como sigue:
1 1 admite representación de Laurent, y como es a su vez la representación z z de Laurent centrada en z0 0 con b1 1 , bn 0 n 1 y an 0 n 0,1, 2,3,... , podemos usar la fórmula de los coeficientes bn del teorema 4 de Laurent cuando n 1 y z0 0 :
Ya que f ( z )
2
bn
2 i ( z z )
C 0
1
f ( z ) dz
n 1
, n 1,2,3,.....
1
f ( z )dz 2 i
C
1
C
z dz 2 i 2 i Res[f(z);0]
1
Donde C es un contorno cerrado simple orientado positivamente de z 0 . El resultado confirma lo que se conoce del ejercicio 10 sección 42 y a su vez permite ir comprendiendo el teorema de Cauchy de los residuos que se estudiará mas adelante y que en este caso expresa que la integral es igual a 2i por el valor del residuo de f en z 0 . Ejemplo 2. Sea la función f ( z )
z2 . z ( z 2 1)
3
Como f ( z ) es un cociente de funciones analíticas salvo en los puntos z 0 y z i , y existen discos perforados 0 z , 0 z i y 0 z i donde f es analítica entonces se puede afirmar que f posee tres puntos singulares aislados en z 0 y z i Nótese que aquí losradios son todos iguales a 1 ya que son equidistantes. El mecanismo para el caso en que se tienen distancias distintas entre los puntos singulares es el siguiente: Fijamos un zk y tomamos la distancia mínima al punto singular más cercano y éste valor se toma como el radio para el disco perforado alrededor del punto singular zk .
i
0
i
Figura 1. Los entornos o discos perforados de lospuntos singulares aislados donde f es analítica. Ejemplo 3. La rama principal del logaritmo tiene como punto singular el origen, z 0 .
f ( z) Log z ln r i r 0,
3 Sin embargo este punto singular NO es aislado ya que todo disco perforado del origen contiene puntos del eje real negativo y la rama no esta definida en estos puntos (debido a la No continuidad de la rama). Es...
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