Resistencia De Materiales ( Ejercicios Resueltos)

MAT 1105 B

EJERCICIOS RESUELTOS
1. De la siguiente ecuación:
Despejando , se tienen las siguientes ecuaciones de la forma a) b) y el valor . :

Calcule la raíz por el método de punto fijo, tomando en cuenta el criterio inicial , en ambos casos, y determinar cual ecuación converge a una raíz de Solución a) De la ecuación: se obtiene la derivada:

1ra. Iteración Utilizando el valor inicial, se tienen los siguientes valores:

Como el error aun es relativamente grande se tendrá que realizar otra iteración.

El resultado del criterio de convergencia está muy cercano a 1 por lo que se puede decir que el método converge a un resultado pero que por el momento será lentamente. 2da. Iteración

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1

3ra. Iteración

Los valores de las próximas iteraciones se muestranen la siguiente tabla: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 1,00000 2,46621 3,09552 3,30056 3,36214 3,38020 3,38546 3,38699 3,38744 3,38757 3.38760 1,07682 1,00993 0,99143 0,98613 0,98460 0,98416 0,98403 0,98399 0,98398 0.98398 1,46621 0,62931 0,20503 0,06158 0,01806 0,00526 0,00153 0,00044 0,00013 0.00004 |g’(xi)| |xi - xi-1|

Respuesta: La raíz de la ecuación es la siguiente:

b) De la ecuación:

seobtiene la derivada:

1ra. Iteración Utilizando el valor inicial , se tienen los siguientes valores:

Como el error aun es grande se tendrá que realizar otra iteración. Pagina

2

El resultado del criterio de convergencia es mucho más pequeño a 1 por lo que se podría decir que el método converge muy rápido, pero se tendrá que ver otra iteración. 2da. Iteración

Respuesta: El criteriode convergencia lo que se dirá que:

, es muy grande y el error aumento desde la anterior iteración por

El método no converge con la ecuación , y el valor inicial por lo que no se podrá obtener un resultado satisfactorio

2. La función:
Tiene una cantidad infinita de raíces, graficando en el intervalo [-5,6] se tiene:

a) Se quiere emplear el método de la bisección para encontrar unasolución aproximada de la primera raíz de la ecuación , en el intervalo [0.1, 0.5], con una exactitud de 10-2. b) Aproximar mediante el método de Newton-Raphson la raíz de , con una exactitud de 10-5. Solución a) Resolviendo por el método de bisección, primero se grafica la función en el intervalo: , tomando como valor inicial

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3

y
0.2

Raíz
x

0 -0.2

0.1

0.2

0.3

0.40.5

-1

Evaluando la función en los dos puntos se tiene: ( menor a 0) ( mayor a 0 ) Se observa que en el intervalo existe una raíz de la función, cuando un punto es menor que cero y el otro es mayor que cero, por lo que puede proceder a resolver la ecuación por el método de bisección: 1ra. Iteración En primer lugar se divide el intervalo a la mitad y se obtiene un nuevo valor:

y
0.2Raíz
x

0 -0.2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nuevo intervalo

-1

Evaluando la función en este punto: ( menor a 0 ) Este valor también se considera para determinar la exactitud en este método:

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Como este valor es mayor a la exactitud requerida de 10-2, se deberá continuar con un nuevo intervalo en otra iteración. Comparando con los valores de los extremos:

Seobtiene el nuevo intervalo, con el punto medio y el punto externo que tenga el signo opuesto. Con lo que el nuevo intervalo será: , (es reemplazado con el nuevo valor) (se mantiene)

2da. Iteración

( menor a 0 )

El nuevo intervalo es: , (es reemplazado con el nuevo valor) (se mantiene)
y
0.2

Raíz
x

0 -0.2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Nuevo intervalo

-1

Las siguientesiteraciones se muestran en la siguiente tabla:

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5

i 1 2 3 4 5 6 7 0.1 0,3 0,4 0,45 0,45 0,45 0,45 0.3 0,4 0,45 0,475 0,4625 0,45625 0,453125 0.5 0,5 0,5 0,5 0,475 0,4625 0,45625 -0,98987 -0,59673 -0,22901 -0,01150 -0,01150 -0,01150 -0,01150 -0,59673 -0,22901 -0,01150 0,10396 0,04573 0,01698 0,00271 0,22314 0,22314 0,22314 0,22314 0,10396 0,04573 0,01698

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