Resistencia De Materiales

TEORÍA DE VIGAS: MÉTODOS PARA DETERMINAR LA DEFLEXIÓN

RESISTENCIA DE MATERIALES

PRESENTADO POR:

CARLOS ANDRÉS BOCANEGRA GAMARRA

DOCENTE:
WALBERTO RIVERA

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
FACULTAD DE INGENIERÍA
PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL
CARTAGENA-BOLÍVAR
2010

Método de la doble integración
Entre los diversos métodos de cálculo para la determinación de las deformaciones el de ladoble integración es, en principio, el que permite entender mejor el comportamiento de las vigas expuestas a deformación por flexión.
Consiste en varios pasos entre los cuales está el integrar dos veces la ecuación diferencial, obteniéndose la ecuación de la pendiente y la ecuación finita de la curva elástica, evaluándose las constantes de integración por las condiciones iniciales y de losapoyos.
En la teoría de la viga elástica, cuyo objetivo es establecer las relaciones existentes entre las deformaciones de una viga de un material homogéneo y elástico y los momentos flexionantes producidos en la viga por un sistema cualquiera de cargas, se define la siguiente relación:
1ρ=MEI
Donde M: momento flector, expresado como función de x
EI: rigidez a la flexiónρ: radio de curvatura
Matemáticamente se tiene que:
1ρ=d2ydx21+dydx212
Igualando ambas expresiones obtenemos:
d2ydx21+dydx212=MEI
Pero las pendientes en las vigas son muy pequeñas, por lo que en términos prácticos se puede hacer:
dydx=0 ; d2ydx2=0
Reemplazando en la ecuación anterior llegamos a:
d2ydx2=y''=MEI ó EIy''=M
Si integramos obtenemos la ecuación de la pendiente:EIy'=Mdx+ C1
Si integramos otra vez (doble integración) obtenemos la ecuación de la elástica que permite calcular las deflexiones
EIy=Mdx+ C1x+ C2
Al llevar a cabo estas integraciones aparecen constantes de integración que deben determinarse a partir de las llamadas condiciones de frontera, que vienen siendo valores de las deformaciones que dependen de los apoyos de la viga. Por ejemplo, en unempotramiento la rotación de la viga y su deflexión deben ser nulas; en un apoyo libre, puede haber rotación pero no deflexión; en una viga simétrica en carga y geometría la rotación al centro del claro debe ser nula.

Método del área-momento
Representa un procedimiento semigráfico para determinar la pendiente y la deflexión en puntos específicos de la curva elástica de una viga o eje. Las hipótesisutilizadas para desarrollar el método son las mismas que se usaron en el método anterior y es exclusivo para vigas elástico lineales con pendientes pequeñas.
El método área-momento se basa en dos teoremas relacionados con el área del diagrama de momentos flexionantes.
Teorema 1
Consideremos un segmento AB de la curva de deflexión de una viga en una región donde la curvatura sea positiva. Porsupuesto, las deflexiones y pendientes se han exagerado. En el punto A, la tangente AA’ a la curva de deflexión forman un ángulo θA con el eje x y en el punto B, la tangente BB’ forma un ángulo θB. Estas dos tangentes se encuentran en el punto C.
El ángulo entre ambas tangentes, denotado por θB/A , es igual a la diferencia entre θA y θB. Lo cual equivale al área bajo el diagrama M/EI entre lospuntos A y B.
Matemáticamente se expresa como:
θB/A=θB-θA=ABMdxEI
Por convención de signos, se tiene que los ángulos θa y θB son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj. El área del diagrama M/EI es una cantidad algebraica y puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo del momento de flexionante.

Teorema 2
Se refiere principalmente a deflexiones en vez de ángulos derotación. Consideremos de nuevo la curva de deflexión entre los puntos A y B. Dibujamos la tangente en el punto A y notamos que su intersección con una línea vertical por el punto B está en el punto B1.
La distancia vertical entre los puntos B y B1 se denota como tB/A y se denomina desviación tangencial de B respecto a A. Como se muestra en la figura, los ángulos entre las tangentes son muy...