Resistencia De Materiales

Tema 8: TORSIÓN

1

2
G

G

T
x

2´

Problemas resueltos

Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana
E.P.S.-Zamora – (U.SAL.) - 2008

8.1.-En la ménsula de la figura de sección maciza circular se pide:
1) Diagrama de momentos torsores
2) Dimensionamiento a resistencia de la sección empleando el criterio de Von Misses
3) Diagrama de giros de torsión
Datos: fy = 275 N/mm2; G =81000 N/mm2 ; coeficiente de minoración del material: γM =1,1
coeficiente de mayoración de cargas: γ =1,5

sección

4 kN.m

8 kN.m
TA
A

1m

1m

Cálculo del Momento de empotramiento. Ecuaciones de equilibrio:

∑T = 0

TA = 8 + 4 = 12 kN .m
tramo 0 − x − 1:

Diagramas de esfuerzos:
T (kN.m)
x

T = −4 kN .m

4

-

ϕx (rad)

T = −12 kN .m
tramo 1 − x − 2 :

12
x
-0,0276

0,0368

Dimensionamiento a resistencia:
Sección más solicitada:

tramo 0-x-1 →

τmax

T = 12 kN.m

τmax

Punto más solicitado: los del borde de la sección circular
τmax

σ* = 0
τ =τ
*

τmax

*
max

T*
T* T*
T*
T*
12.102.1,5
=
= (caso sec c .circular ) =
=
=
=
=
π .R 3
π .R 3
Wt
Wo I o π .R 4
2
R
2
2
R

Von Misses:

σ co = σ *2 + 3.τ *2≤ f yd

sustituyendo valores:
2

σ co



12.106.1, 5 
275
= 3. 
≤
3
 π .R

1,1

2

→

R ≥ 43 mm

Criterio elástico de dimensionamiento:

275
1,1
T ≤ Tel , d = WT ,el .
→ 12.10 .1,5 ≤ WT ,el .
→ WT ,el ≥ 124707, 66 mm3
3
3
I
π .R 3
→ WT ,el = (caso de sección circular)=Wo = 0 =
= 124707,66 mm3
R
2
→ R ≥ 42,98 mm ≃ 43 mm ¡el mismo resultado que con VonMisses!
f yd

*

6

Diagramas de giros a torsión:

I t = (caso sec c. circular ) = I o =

π .R 4
2

=

π .4, 34
2

= 537 cm 4

tramo 0 − x − 1:

ϕ XA

S TAX
−12.103.x
= ϕ X − ϕ A = (comoϕ A = 0) = ϕ X =
=
G.I t 81000.10 6.537.10 −8

x = 0 → ϕx = 0

x = 1 → ϕ x = −0, 0276 rad

tramo 1 − x − 2 :

ϕ XA = ϕ X − ϕ A = (comoϕ A = 0) = ϕ X =
x = 1 → ϕ x = −0, 029rad

S TAX −12.103.1 − 4.103.( x − 1)
=
G .I t
81000.106.537.10 −8

x = 2 → ϕ x = −0, 0369 rad

8.2.-En la barra de la figura se pide calcular:
1) Diagramas de momentos torsores
2) Diagramas de giros de torsión
Datos: G, It
To

To

TA

TB

L/3

L/3

L/3

∑T = 0

Ecuaciones de equilibrio:

→ TA + TB = T0 + T0

1 ecuación de equilibrio y 2 incógnitas: TA y TB →

(1)viga hiper-estática

Viga isostática equivalente:
To

To

TA

TB

condición:

ϕ B = 0 ( 2)
L/3

L/3

L/3

Desarrollemos la ecuación (2):

ϕ BA = ϕ B − ϕ A =
ϕ BA = 0 =

S TAB
G .I t

0 − x − L /3:

S TAB
G .I t

pero ϕ A = 0 (empotramiento ) y ϕ B = 0 (ecuación 2)
B

→ S TAB = 0 →

∫ T .dx = 0

siendo :

A

T = −TA

L / 3 − x − 2 L / 3 : T = −TA +To
2L / 3 − x − L :
B

∫ T .dx =
A

−TA .

T = −TA + 2.To

L/3

∫
0

con lo cual sustituyendo :

2L /3

( −TA ).dx +

∫

L/3

L

( −TA + To ).dx +

∫

(−TA + 2To ).dx = 0

2L /3

L
L
L
+ ( −TA + M o ). + ( −TA + 2.M o ). = 0
3
3
3

(2)

resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) : TA = To

TB = To

To

To

To

To

L/3

L/3

L/3To

T

+

x

-

T0
ϕx
x

-

To L /3GIt

tramo 0 − x − L / 3 :
T = −To

ϕ XA = ϕ X − ϕ A = (como ϕ A = 0) = ϕ X =
x = 0 → ϕX = 0

S TAX −To .x
=
G .I t
G .I t

x = L / 3 → ϕX =

−To .L
3.G.I t

tramo L / 3 − x − 2.L / 3 :
T = −To + To = 0

ϕ XA = ϕ X − ϕ A = (ϕ A = 0) = ϕ X =

−T .L
S TAX
= o = cte
G.I t 3.G.I t

tramo 2.L / 3 − x − L :
T = −To + To + To= To

ϕ XA

S TAX
= ϕ X − ϕ A = (ϕ A = 0) = ϕ X =
=
G .I t

x = 2.L / 3 → ϕ X =

−To .L
3.G.I t

−To .

L
2.L
+ To .( x −
)
3
3
G .I t

x = L → ϕX = 0

8.5.-La sección de una viga está sometida a un momento torsor de valor: T = 7,5 kN.m.
Se pide:
1) Dimensionar a resistencia dicha sección empleando el criterio de Von Misses
2) Calcular las tensiones en los puntos 1...