Resistencia De Materiales
Páginas: 16 (3927 palabras)
Publicado: 29 de noviembre de 2012
METODO DE DE LA DOBLE INTEGRACIÓN.
Es uno de tantos métodos que se basan en el análisis de las deformaciones, en particular la de los soportes. El método consiste en integrar sucesivamente una ecuación denominada “Ecuación Diferencial de la Elástica” dada por la expresión:
[pic]
E = Módulo elástico del material del que está hecha la viga.
I = Momento de inercia de la seccióntransversal respecto al eje neutro.
Mx = Ecuación de momentos a lo largo de toda la barra.
Al integrar sucesivamente la ecuación de momentos, aparecen constantes que será necesarios definir. Estas constantes se determinan en función de las condiciones de frontera, que generalmente las definen los tipos de apoyo o la simetría de la carga. Recordemos que un apoyo simple tiene pendiente pero no tieneflecha y un apoyo empotrado no tiene ni pendiente ni flecha. En un punto cualquiera de la viga, la pendiente es la misma analizando las cargas y momentos a la izquierda o a la derecha del punto.
Problema 1. Determine los momentos flexionantes y las reaciones verticales en la viga de la figura 4). Tomar EI constante. El apoyo 1 es simple el 2 es empotramiento.
Ecuaciones demomento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación de momentos y se le integra sucesivamente.
[pic]
[pic]
Integrando:
[pic]
[pic]
Cálculo de las constantes. La ecuación 1) proporciona la pendiente (dy/dx) en cualquier punto de la viga. El apoyo 2) está empotrado y no tiene pendiente por loque sustituyendo x = 8 e igualando a cero se tiene:
[pic]
[pic]
La ecuación 2) proporciona la flecha (Y) en cualquier punto de la viga. El apoyo 1) es simple y no tiene flecha, por lo que sustituyendo x = 0 e igualando a cero, se tiene: C2 = 0
En la misma ecuación 2) la flecha es cero en x = 8 y sustituyendo C1 logramos obtener una ecuación en función de la reacción V1 la que alresolverse nos da su valor.
[pic]
V1 = 1500.00 kg
Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción V2.
V1 + V2 - 500(8) = 0
V2 = 2500.00 kg
Conocidas las reacciones verticales, el momento M2 puede calcularse sumando momentos en el nodo 1) o en el 2) o sustituyendo x = 8 en la ecuación de momentos.
(M1 = M2 + 500(8)4 - 2500(8) = 0
M2 = 4000.00 kg.mFin del problema.
Problema 3. La viga de la figura 6) tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga uniformemente variable de 1200 kg/m. Determine los momentos y las reacciones verticales en los empotramientos. Tomar EI constante.
Incógnitas y ecuación de momentos.
La altura (y) de la carga triangular a la distancia (x) se obtiene portriangulos semejantes.
[pic]
La resultante del triangulo ubicado en la longitud (x) y de altura (y) es su área (yx/2) y se ubica a (x/3) que es su centro de gravedad de derecha a izquierda. La ecuación de momentos es entonces:
[pic]
[pic]
Se escribe la ecuación diferencial y se integra sucesivamente.
[pic]
[pic]
En esta ecuación cuando x = 0, la pendiente dy/dx es cero y portanto la constante C1 = 0.
[pic]
En esta ecuación cuando X = 0, la flecha Y = 0 y por tanto la constante C2 = 0.
En las ecuaciones (1) y (2) cuando x = L, la pendiente y la flecha son cero. De aquí resultan dos ecuaciones con dos incognitas.
dy/dx = 0. En la ecuación 1.
x = L
[pic]
Y = 0. En ecuación 2.
X = L
[pic]
La solución de las ecuaciones (3) y (4) dan los siguientesresultados:
[pic]
[pic]
La reacción vertical en B se obtiene por equilibrio de fuerzas.
[pic]
El momento en B se obtiene por suma de momentos en A o en B.
[pic]
[pic]
Resultados finales.
Fin del problema.
Problema 4. La viga de la figura 7) tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga uniformemente distribuida de 1200 kg/m. Determine los...
Es uno de tantos métodos que se basan en el análisis de las deformaciones, en particular la de los soportes. El método consiste en integrar sucesivamente una ecuación denominada “Ecuación Diferencial de la Elástica” dada por la expresión:
[pic]
E = Módulo elástico del material del que está hecha la viga.
I = Momento de inercia de la seccióntransversal respecto al eje neutro.
Mx = Ecuación de momentos a lo largo de toda la barra.
Al integrar sucesivamente la ecuación de momentos, aparecen constantes que será necesarios definir. Estas constantes se determinan en función de las condiciones de frontera, que generalmente las definen los tipos de apoyo o la simetría de la carga. Recordemos que un apoyo simple tiene pendiente pero no tieneflecha y un apoyo empotrado no tiene ni pendiente ni flecha. En un punto cualquiera de la viga, la pendiente es la misma analizando las cargas y momentos a la izquierda o a la derecha del punto.
Problema 1. Determine los momentos flexionantes y las reaciones verticales en la viga de la figura 4). Tomar EI constante. El apoyo 1 es simple el 2 es empotramiento.
Ecuaciones demomento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación de momentos y se le integra sucesivamente.
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Integrando:
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Cálculo de las constantes. La ecuación 1) proporciona la pendiente (dy/dx) en cualquier punto de la viga. El apoyo 2) está empotrado y no tiene pendiente por loque sustituyendo x = 8 e igualando a cero se tiene:
[pic]
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La ecuación 2) proporciona la flecha (Y) en cualquier punto de la viga. El apoyo 1) es simple y no tiene flecha, por lo que sustituyendo x = 0 e igualando a cero, se tiene: C2 = 0
En la misma ecuación 2) la flecha es cero en x = 8 y sustituyendo C1 logramos obtener una ecuación en función de la reacción V1 la que alresolverse nos da su valor.
[pic]
V1 = 1500.00 kg
Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción V2.
V1 + V2 - 500(8) = 0
V2 = 2500.00 kg
Conocidas las reacciones verticales, el momento M2 puede calcularse sumando momentos en el nodo 1) o en el 2) o sustituyendo x = 8 en la ecuación de momentos.
(M1 = M2 + 500(8)4 - 2500(8) = 0
M2 = 4000.00 kg.mFin del problema.
Problema 3. La viga de la figura 6) tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga uniformemente variable de 1200 kg/m. Determine los momentos y las reacciones verticales en los empotramientos. Tomar EI constante.
Incógnitas y ecuación de momentos.
La altura (y) de la carga triangular a la distancia (x) se obtiene portriangulos semejantes.
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La resultante del triangulo ubicado en la longitud (x) y de altura (y) es su área (yx/2) y se ubica a (x/3) que es su centro de gravedad de derecha a izquierda. La ecuación de momentos es entonces:
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Se escribe la ecuación diferencial y se integra sucesivamente.
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En esta ecuación cuando x = 0, la pendiente dy/dx es cero y portanto la constante C1 = 0.
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En esta ecuación cuando X = 0, la flecha Y = 0 y por tanto la constante C2 = 0.
En las ecuaciones (1) y (2) cuando x = L, la pendiente y la flecha son cero. De aquí resultan dos ecuaciones con dos incognitas.
dy/dx = 0. En la ecuación 1.
x = L
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Y = 0. En ecuación 2.
X = L
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La solución de las ecuaciones (3) y (4) dan los siguientesresultados:
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La reacción vertical en B se obtiene por equilibrio de fuerzas.
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El momento en B se obtiene por suma de momentos en A o en B.
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Resultados finales.
Fin del problema.
Problema 4. La viga de la figura 7) tiene ambos extremos empotrados y recibe una carga uniformemente distribuida de 1200 kg/m. Determine los...
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