RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES

Tema 3
Resolución de Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Índice

1. Introducción
2. Método de Gauss
2.1
2.2
2.3
2.4

Resolución de sistemas triangulares
Triangulación por el método de Gauss
Variante Gauss-Jordan
Comentarios al método de Gauss

3. Inestabilidad del Método de Gauss y Estrategias de Pivote
3.1 Pivote parcial
3.2 Pivote total
4. Condicionamiento de sistemas deecuaciones lineales
5. Otros métodos directos
5.1 Factorización LU
5.2 Método de Cholesky
6. Métodos iterativos usuales
6.1 Método de Jacobi
6.2 Método de Gauss-Seidel
6.3 Método de relajación

1

1.

Introducción

El objetivo de este tema es la resolución de un sistema de n ecua-

ciones lineales con n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + · · · +a2n xn = b2 ,
...
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn ,









donde son conocidos la matriz de coecientes


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n

A= .
. ..
.
.
 .
. .
.
.
.
an1 an2 · · · ann







y el vector de términos independientes



b1
 b2 


b= . 
. 
 .
bn

En notación matricial, el sistema de ecuacioneslineales se escribe:
Ax = b.

y se puede resolver por dos tipos de métodos:

Métodos directos: son métodos que, en un número nito de operaciones, obtienen la solución exacta.

Métodos iterativos: son métodos que generan una sucesión de aproximaciones {x(m) } que converge a la solución del sistema: x = A−1 b.

Recordemos que el Método de Cramer para la resolución de un sistema
de n con nincógnitas x1 , . . . , xn consiste en calcular las incógnitas mediante
la fórmula
xi =

det Ai
,
det A

i = 1, . . . , n,

2

siendo A la matriz de coecientes y Ai la matriz que resulta de sustituir
la columna i-ésima de la matriz de coecientes por el vector de términos
independientes.
Teniendo en cuenta que el coste de un proceso de cálculo se puede estimar
mediante el número totalde operaciones aritméticas necesarias, entonces el
coste de un determinante de orden n es n!n − 1 y, por tanto, el coste del
Método de Cramer es (n + 1)n! − 1. A continuación aparece una tabla con
el tiempo estimado para resolver con el método de Cramer un sistema de
orden n, para distintos valores de n, con una máquina que realice unas 106
operaciones por segundo:

Algunos costes del métodode Cramer

n Coste del Método de Cramer Tiempo (106 oper/s)
5
≈ 3600
3,6 milisegundos
10
≈ 4 × 108
6 minutos 39 segundos
20
≈ 1,02 × 1021
32,4 millones de años

Por último, recordemos algunas deniciones sobre matrices
An×n = (aij ) se dice

si verica

Ortogonal

AT = A−1

Simétrica

AT = A

Diagonal

si i = j entonces aij = 0

Tridiagonal

si |i − j| > 1 entoncesaij = 0

Triangular superior

si i > j entonces aij = 0

Hessenberg superior

si i > j + 1 entonces aij = 0

(Semi)Denida positiva

xt Ax(≥) > 0, ∀ x = 0

(Estrictamente)Diagonalmente dominante

|aij |(k

tal que

|aik | = m´x |ark |
a
k≤r≤n

y se

k.

0,0001 1 1
1 1 2

exacta

−→

1,00010...
0,99990

Efectuando un cambio de la
1 1 2
0,0001 1 1

Pero1 1 2
0 1 1

∼

0,0001
1
1
0,0001 0,0001 0,0002

Pivote parcial con escalado:

1
1

p.p.

−→

p.p.

−→

0
1

.

.

Igual que el pivote parcial, reescalando las

ecuaciones antes del pivotaje para que
(1)

(2)

(n)

m´x |aij | = m´x |a2j | = · · · = m´x |anj |.
a
a
a

8

3.2.

Pivote total

Se toma (i, j) tal que
(k)

|aij | = m´x |a(k) |,
ars
k≤r≤n
k≤s≤n

y se permutan las ecuaciones i y k , y las incógnitas j y k .
4.

Condicionamiento de Sistemas de Ecuaciones
Lineales

Para entender el concepto de condicionamiento, consideremos el siguiente
ejemplo de R.S. Wilson: Se trata del sistema de ecuaciones lineales cuya
matriz ampliada y solución exacta son:


10
 7

 8
7

7 8 7
5 6 5
6 10 9
5 9 10


...