Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Páginas: 7 (1602 palabras)
Publicado: 6 de abril de 2013
DEFINICIONES
Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, sonconstantes reales.
ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL
Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
...
a n1 X1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.
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(3)
Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:
A X = C (4)en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).
Entonces la matriz ampliada será:
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SISTEMA DE ECUACIONES
SOLUCIÓN DE UN SISTEMADE ECUACIONES
Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.
Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este casose demuestra que existe una infinidad de soluciones.
TEOREMAS SOBRE RANGOS
El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).
En álgebra se demuestra que:
Para cualquier sistema, (*)
Si r(A) < r(A, C) el sistema esinconsistente
Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es consistente
En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.
En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.
Naturalmente, ninguna técnicapráctica puede ser infinita. Lo que queremos decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de operaciones aritméticas.
Por otra parte, un método indirecto requerirá en principio un número infinito de operaciones aritméticas para producir una solución exacta. Dicho de otra manera, un método indirectotiene un error por truncamiento mientras que un método directo no lo tiene.
Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más cuidadosamente esta cuestión. En un sistema grande, mal comportado, los errores por redondeo de un método directo puede hacer que la "solución" carezca de sentido. A pesar desu error teórico por truncamiento, un método indirecto puede ser mucho más deseable porque en él los errores por redondeo no se acumulan.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este...
Es aquella en donde en cada término de la ecuación aparece únicamente una variable o incógnita elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
a 11 X1 + a 12 X2 + a 13 X3 + ... + a 1n Xn = C1 (1)
Es una ecuación algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el término independiente C1, sonconstantes reales.
ECUACIÓN ALGEBRÁICA LINEAL
Es un conjunto de ecuaciones que deben resolverse simultáneamente. En los sucesivo se considerarán únicamente sistemas de ecuaciones algebráicas lineales, o sea conjuntos de ecuaciones de la forma:
a11 X 1 + a 12 X2 + a13 X 3 +... + a 1n X n = C 1 (a)
a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 +... + a 2n X n = C 2 (b) (2)
...
a n1 X1 + a n2 X 2 + a n3 X 3 + ... + a nn X n = C n (c)
Aplicando la definición de producto entre matrices, este sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas puede escribirse en forma matricial.
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(3)
Este sistema de ecuaciones puede escribirse simbólicamente como:
A X = C (4)en donde A se llama Matriz del Sistema. La matriz formada por A, a la que se le ha agregado el vector de términos independientes como última columna, se le llama la Matriz Ampliada del Sistema, que se representa con (A, C).
Entonces la matriz ampliada será:
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SISTEMA DE ECUACIONES
SOLUCIÓN DE UN SISTEMADE ECUACIONES
Es un conjunto de valores de las incógnitas que verifican simultáneamente a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.
De acuerdo con su solución, un sistema puede ser: Consistente, si admite solución; o Inconsistente, si no admite solución.
Un sistema Consistente puede ser: Determinado, si la solución es única o Indeterminado, si la solución no es única. En este casose demuestra que existe una infinidad de soluciones.
TEOREMAS SOBRE RANGOS
El rango de una matriz es el orden de determinante no nulo de mayor orden que puede obtenerse de esa matriz. El rango de la matriz A se representa con la notación r(A) y el de la matriz ampliada con r(A, C).
En álgebra se demuestra que:
Para cualquier sistema, (*)
Si r(A) < r(A, C) el sistema esinconsistente
Si r(A) = r(A, C) el sistema de ecuaciones es consistente
En este caso, si además r(A) = n, el sistema es determinado e indeterminado si r(A) < n, siendo n el número de variables en el sistema.
En general, hay dos tipos de técnicas numéricas para resolver ecuaciones simultáneas: Directas, que son finitas; e Indirectas, que son infinitas.
Naturalmente, ninguna técnicapráctica puede ser infinita. Lo que queremos decir es que en un principio los métodos directos (despreciando errores por redondeo) producirán una solución exacta, si la hay, en un número finito de operaciones aritméticas.
Por otra parte, un método indirecto requerirá en principio un número infinito de operaciones aritméticas para producir una solución exacta. Dicho de otra manera, un método indirectotiene un error por truncamiento mientras que un método directo no lo tiene.
Sin embargo, la expresión "en principio" del párrafo anterior es crucial: en realidad se tienen errores por redondeo. Tendremos que considerar más cuidadosamente esta cuestión. En un sistema grande, mal comportado, los errores por redondeo de un método directo puede hacer que la "solución" carezca de sentido. A pesar desu error teórico por truncamiento, un método indirecto puede ser mucho más deseable porque en él los errores por redondeo no se acumulan.
MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS
El primer método que se presenta usualmente en álgebra, para la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas, es aquel en el que se eliminan las incógnitas mediante la combinación de las ecuaciones. Este...
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