Resolución de triángulos

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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Página 102 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1 Para calcular la altura de un árbol, podemos seguir el procedimiento que utilizó Tales de Mileto para hallar la altura de una pirámide de Egipto: comparar su sombra con la de una vara vertical cuya longitud es conocida. Hazlo tú siguiendo este método y sabiendo que: — la vara mide 124 cm, — la sombra de lavara mide 37 cm, — la sombra del árbol mide 258 cm. Para solucionar este problema habrás utilizado la semejanza de dos triángulos. 124 37 = x 258 x 124 cm 37 cm 258 cm La altura del árbol es de 864,65 cm. Problema 2 –– Bernardo conoce la distancia AB a la que está del árbol y los ángulos CBA y — BAC ; y quiere calcular la distancia BC a la que está de Carmen. — Datos: AB = 63 m CBA = 42o BAC =83o — BC = 42 mm — Deshaciendo la escala: BC = 42 m B
Unidad 4. Resolución de triángulos

x=

258 · 124 = 864,65 cm 37

A 63 m
42° 83°

C

1

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Problema 3 Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la distancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente,medir el ángulo CBA. — — Datos: BC = 1 200 m; BA = 700 m; CBA = 108o. 100 m → 1 cm 1 200 m → 12 cm 700 m → 7 cm — — CA = 14,7 cm ⇒ CA = 1 470 m A

700 m → 7 cm 108° B 1200 m → 12 cm C

NOTA: El triángulo está construido al 50% de su tamaño.

Problema 4 Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras: a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1.

1 x

xb) La altura de un triángulo equilátero de lado 1.

1 y

1 2

Haz todos los cálculos manteniendo los radicales. Debes llegar a las siguientes soluciones: x=

√2 ,
2

y=

√3
2

Unidad 4. Resolución de triángulos

2

a) 12 = x 2 + x 2 1 = 2x 2 x2 1 = 2

b) 12 = y 2 + y2 = 1 – y=

(1) 2

2

1 3 = 4 4

1 √2 x= = 2 √2

√3
2

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1. Considera este triángulo: a)Calcula la proyección de MN sobre MP. b) Halla la altura correspondiente a la base MP. c) Calcula el área del triángulo.
N 5 cm 52° M N' P h M 5 cm 52° 7 cm P N

a) cos 52° = b) sen 52° =

— — MN' MN' = MN 5

— ⇒ MN' = 5 cos 52° = 3,08 cm

h ⇒ h = 5 · sen 52° = 3,94 cm 5 — b · MN · sen 52° b·h 1 c) A = = = · 7 · 5 · sen 52° = 13,79 cm2 2 2 2

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1. Halla tg 76o y cos 38 o 15'43''. tg 76° = 4,0107809 cos 38° 15' 43" = 0,7851878 2. Pasa a grados, minutos y segundos ( 39,87132° = 38° 52' 16,7" 3. Halla α y β sabiendo que cos α = 0,83 y tg β = 2,5. cos α = 0,83 → α ≈ 33,901262° = 33° 54' 4,54" tg β = 2,5 → β ≈ 68,198591° = 68° 11' 54,9" 4. Sabiendo que tg β = 0,6924, halla cos β. tg β = 0,6924 → β ≈ 34,698729° → cos β ≈ 0,8222 ) el ángulo 39,87132o.

Unidad 4.Resolución de triángulos

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1. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40o. ¿Cuánto mide el poste?
B

c

a

tg 40° =

a → a = 7 tg 40° = 5,87 m 7

A

40° b = 7 cm

C

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1. Razonando sobre el triángulo sombreado de arriba, yteniendo en cuenta que su hipotenusa es OA = 1, justifica que los segmentos OA' y A'A corresponden, efectivamente, a las razones trigonométricas cos α, sen α. — — — — OA' OA' A'A A'A — — cos α = — = = OA' sen α = — = = A'A OA 1 OA 1 2. Aplicando el teorema de Pitágoras en el correspondiente triángulo rectángulo, justifica que: (sen β)2 + (cos β)2 = 1 (Ten en cuenta que (–x) 2 = x 2).
(*) — — — (senβ)2 + (cos β)2 = (B'B )2 + (OB' )2 = (OB )2 = 12 = 1 (*)

Teorema de Pitágoras.

Si consideramos una circunferencia no goniométrica (r ≠ 1): — — — — — B'B 2 OB' 2 ( B'B )2 + ( OB' )2 (*) ( OB)2 + — = = — 2 =1 (sen β)2 + (cos β)2 = — — 2 ( OB ) ( OB ) OB OB

( ) ( )

3. Di el valor de sen α y cos α para ángulos de 0o, 90o, 180o, 270o y 360o. sen 0° = 0 cos 0° = 1 sen 90° = 1 cos 90° = 0...