Resolución de un problema a través de Métodos numéricos

Métodos Numéricos
Trabajo práctico de Laboratorio: Resolución
aplicada de problemas

Tema: Optimización de trayectoria




INTRODUCCIÓN
IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos,
de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existenmuchos tipos de
métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número
de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y
rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de
forma considerable en los últimos años.
En la actualidad, lascomputadoras y los métodos numéricos ofrecen una alternativa para los cálculos
complicados. Al usar la potencia de la computadora se obtienen soluciones directamente, de esta manera se
pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificación o a técnicas muy
lentas. Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas, tanto para resolver problemas como para
brindaruna mayor comprensión, los métodos numéricos representan opciones que aumentan, en forma
considerable, la capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de más tiempo
para aprovechar las habilidades creativas personales.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas.
Son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes,manejar no linealidades y resolver geometrías
complicadas, comunes en la práctica de la ingeniería y, a menudo, imposibles de resolver en forma analítica.
Por lo tanto, aumentan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.

PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA
En este caso se presentó un problema de optimización. En muchas situaciones de la vida cotidiana es de vital
importancia encontrar lasolución a un problema que minimice una variable determinada.

Se trata de un guardavida que tiene que rescatar a una persona que se está ahogando. Este se desplaza
corriendo sobre la arena a una velocidad “v1” superior a la velocidad “v2” con que se desplaza nadando en el
mar.
El guardavida y el bañista se encuentran a una distancia “d1” y “d2” de la costa, respectivamente; y la
separaciónhorizontal de ambos es igual a “dtot”.

2

Figura 1: Esquema del problema planteado.
Con todo esto se pide:




Plantear la ecuación que describe el tiempo que le tomará al guardavida llegar hasta el desafortunado
bañista en función del punto de ingreso al mar
Derivar dicha función e igualar a cero para encontrar el mínimo local
Seleccionar un método numérico para resolver laecuación no lineal que se presente

MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA
Por leyes físicas sabemos que (1):

Pensando al recorrido que hace el guardavida en la arena y en el mar como vectores “y” y “z”,
respectivamente, y escribiendo sus normas tenemos:
√
√

√

Como conocemos “v1” y “v2”, y por (1) tenemos que:
√

√

3

Nuestra función de tiempo es la suma del tiempo que le toma al guardavidallegar desde la arena al mar, con
el tiempo que le toma llegar desde el mar hasta el bañista desafortunado.
Luego, tenemos que derivar la función del tiempo para obtener la función con la que trabajar. A esta la
llamaremos f.

√

√

ANÁLISIS DE METODOLOGÍA DE RESOLUCIÓN Y
EXPOSICIÓN DE CRITERIOS DE SELECCIÓN
Claramente estamos frente a un problema de búsqueda de raíces. Inmersos en él,primeramente tenemos que
elegir entre dos opciones: los métodos abiertos o los métodos cerrados.

MÉTODOS CERRADOS
En esta clasificación tenemos el Método de la bisección y el Método de la falsa posición. Entre los dos, es
lógico pensar en el segundo por su mayor velocidad de convergencia.
Optar por estos métodos parecería una buena opción, ya que por la naturaleza de nuestro problema...