Resoluci N Guia N 2 MAT023

Universidad T´ecnica
Federico Santa Mar´ıa
Departamento de Matem´
atica

Matem´
atica III
Gu´ıa No 2
Coordinaci´on MAT-023

Soluciones Gu´ıa No2 Semestre I, 2015
Profesor: Gilberto Campa˜
na / Ayudante: Dymythy Huenuhueque
1.- Determinar el dominio y dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones.

(a)

(b)

4 − x2 − y 2
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : 4−x2 −y 2 ≥ 0}
1

x+y
x−y
Resp:Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x > y}
x

4 − x2 − y 2
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : 4−x2 −y 2 > 0}

(c) arcsen(x + y)
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 }
(d)

(f)

−4x
+ y2 + 1
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 +1 > 0}
x2

2x
(e) 2
x + y2
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) = (0, 0)}

(g) e y
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}
 2xy

si (x, y) = (0, 0)
 2
x + y2
(h) f (x, y) =


0
si (x, y) = (0,0)
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 }
(i) m´ın{|x + 2|, |1 + y|, x + y}
Resp: Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 }

NOTA: las curvas de nivel son responsabilidad del alumno realizarlas con mas detalle.

Figura 1: Curva de nivel (a)

Figura 2: Curva de nivel (b)

1

Figura 3: Curva de nivel (c)

LATEX 2ε / D.A.H.S

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Figura 6: Curva de nivel (f)

Figura 5: Curva de nivel (e)
Figura 4: Curva de nivel (d)

Figura 7: Curva de nivel (g)

Figura 8: Curva de nivel (i)

2.- Calcule los siguientes limites en caso de que existan.
(a)

2x2 − y 2
=∃
(x,y)→(0,0) x2 + 2y 2

x2 sen

l´ım

(g)

l´ım
(x,y)→(0,0)

(b)

l´ım
(x,y)→(0,0)

(c)
(d)

|sen(x) · sen(y)|
=0
|x| + |y|

(x + y)3
=0
(x,y)→(0,0)x2 + y 2
l´ım

|x| + |y|
=1
sen(|x| + |y|)
x2 sen

(e)
(f)

l´ım

(x,y)→(0,0) x2

1
x+y

+ |x| + 2

=∃

exy − 1
=∃
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
l´ım

2

x +y 2

x2 + y 2

=∃

(h)

sen(xy 3 )
=0
(x,y)→(0,0) x2 + y 6

(i)

x2 y + xy 2
=0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

(j)

xy sen(y 3 )
=0
(x,y)→(0,0) x4 + y 4

(k)

x3 + y 2
=∃
(x,y)→(0,0) |x| + |y|

(l)

x2 y cos(x2 + y 2 )
=0
x2 + y 2
(x,y)→(0,0)

l´ım

(x,y)→(0,0)√ xy
2

l´ım

l´ım

l´ım

l´ım

l´ım

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3.- Considere la funci´
on g : R2 /{(0, 0)} → R definida mediante
g(x, y) =

x4 + y 4
(x2 + y 2 )3/2

Verifique que para una funci´
on f (x, y) positiva tal que f (x, y) ≤ ex
l´ım

2

+y 2

en torno a R2 el siguientelimite existe

1 + f (x, y)g(x, y)

(x,y)→(0,0)

y determine su valor.
Soluci´on

En este caso debemos acotar el limite, debido a que no se conoce f (x, y) ademas de acercarse por y=x, esto
es:
2
2
x4 + y 2
· ex +y
2
2
3/2
(x,y)→(0,0)
(x + y )
2
2
x4 + x2
≤ l´ım 1 + 2
· ex +x
2
3/2
x→0
(x + x )
y=x

1 + f (x, y)g(x, y) ≤

l´ım
(x,y)→(0,0)

l´ım

1+

≤ 1
∴ Obteniendo finalmente

l´ım

1 + f (x,y)g(x, y) = 1

(x,y)→(0,0)

 4
x sen(y 4 )



x2 + y 2
4.- Considere la funci´
on f (x, y) =



0
Determine si f es continua en (0, 0).

(x, y) = (0, 0)
(x, y) = (0, 0)

Soluci´on

Para ver continuidad solo basta analizar el limite en (0, 0), ya que para los valores donde (x, y) = (0, 0) la
funci´
on es continua por ´
algebra de funciones continuas.
x4 sen(y 4 )
x4 sen(y 4 )
y 2 x4 sen(y 4 )−
0
≤
≤
= x4 y 2
x2 + y 2
y2
y4
que tiende a cero cuando (x, y) → (0, 0) , por lo tanto es continua

3

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5.- Considere la funci´
on

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
xy(x2 − y 2 )



x2 + y 2
f (x, y) =



0

si (x, y) = (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)

Estudie la continuidad de f en elorigen.
Soluci´on

Para ver continuidad solo basta analizar el limite en (0, 0), ya que para los valores donde (x, y) = (0, 0) la
funci´
on es continua por ´
algebra de funciones continuas.
xy(x2 − y 2 )
−0
x2 + y 2
que tiende a cero cuando (x, y) → (0, 0) , por lo tanto es continua
6.- Sea f : A → R donde,
A = {(x, y) ∈ R2 : |y| > x}
(a) Analice: l´ım−
x→0

(b) Demostrar que:

l´ım f (x, y)...