Resoluci N Tarea1

Ejercicio 1:
Sea R = {(x, y) : a < x < b, c < y < d} con (x0, y0)  R. Si f y df/dx son continuas en R, entonces existe un intervalo I = (x0 −, x0 +) y una única
función y(x) definida en I quecumple
(1) y’ = f(x, y); y(x0) - y0= 0
Dada la ecuación diferencial y0 = 30y, con y = y(t), resulta
y’/y = 30  ∫y’/y dt = ∫30dt  In y  30t + C y = eCe30t  y(t) = D e30t

De modo que la solucióngeneral de la ecuación diferencial y’ = 30y es y(t) = De30t, con D = eC tomando cualquier valor real positivo. Esta solución representa un modelo de crecimiento de población con recursos ilimitados enel que la velocidad de expansión de la población sólo dependerá del número de individuos iniciales (para tiempo t = 0, tenemos y(0) = D = eC individuos). La expresión y(t) = De30t recibe el nombre defamilia monoparamétrica de soluciones, ya que para cada valor del parámetro D obtenemos una solución de la ecuación diferencial.




Ejercicio (2):
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,
Si la ecuacióndiferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es HOMOGÉNEA Y EXACTA, entonces su solución general es xM(x,y)+yN(x,y)=c.

Demostración:

y = vx (donde v = v(x) es derivable
y’ = −M(x,y)/ N(x,y) = f(x, y) es una funciónhomogénea de grado 0,
de modo que f(x, y) = f(x, y) para todo  R, esto es, las rectas que pasan por el origen son isóclinas de (1) (las pendientes y’ de las soluciones de (1) son constantes a lo largode cada una de estas rectas).

(1)M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0

La ecuación diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 es exacta si existe
una función f(x, y), con derivadas parciales continuas, tal que:

fx(x,y) = M(x, y) y fy(x, y) = N(x, y)

La solución general de la ecuación es f(x, y) = C. Para comprobarlo,
Se deriva esta expresión con respecto a la x para obtener
fx(x, y) + fy(x, y) dydx = 0  fx(x,y)dx + fy(x, y)dy = 0 
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Ejemplo del Ejercicio 2: (x2 − y2)dx + 3xydy = 0.
Como M(x, y) = (x2 − y2) y N(x, y) = 3xy son ambas homogéneas de grado 2, hacemos y = vx. Así,...