Resolucion De Ecc Diferenciales No Lineales

RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO-LINEALES CON UN ALGORITMO RESIDUAL
WILLIAM LA CRUZ∗ Departamento de Electr´ nica, Computaci´ n y Control o o Universidad Central de Venezuela Caracas, Venezuela email: lacruzw@ucv.ve RESUMEN Se presenta la aplicaci´ n de un nuevo m´ todo lio e bre de derivadas para sistemas de ecuaciones nolineales, en la resoluci´ n num´ rica de ecuaciones o ediferenciales no-lineales. Se incluyen algunos experimentos num´ ricos preliminares donde se e comprueba que el m´ todo propuesto y su versi´ n e o precondicionada, son efectivos y compiten favorablemente con el m´ todo de Newton de puntos e interiores-reflexivo, implementado en la funci´ n o fsolve del Toolbox de optimizaci´ n de MATo LAB. PALABRAS CLAVE Ecuaciones diferenciales no-lineales, M´ todo de ediferencias finitas, Sistema de ecuaciones nolineales, M´ todo de Newton, Algoritmo libre de e derivadas. Muchos problemas f´sicos se pueden moı delar usando ecuaciones en derivadas parciales de la forma (1). Por ejemplo, problemas relacionados con el estudio de procesos de convecci´ n-difusi´ n: ignici´ n t´ rmica y combusti´ n, o o o e o reacci´ n qu´mica, y crecimiento de poblacioo ı nes ([1, 8,13]). Con frecuencia no es posible encontrar la soluci´ n exacta de (1). En los casos que no se o puede hallar expl´citamente la soluci´ n exacta, se ı o utiliza un m´ todo num´ rico para aproximar el vae e lor de la funci´ n v(x, y) en un n´ mero finito de o u puntos (xi , yi ) ∈ Σ. Generalmente el m´ todo utie lizado para este proceso es el m´ todo de diferene cias finitas. Si se aplica a laecuaci´ n en derivadas paro ciales (1) el m´ todo de diferencias finitas, consie derando diferencias centrales en n = N 2 puntos internos de Σ, se obtiene una ecuaci´ n en difeo rencias de la forma F (u) ≡ Au + G(u) = 0, (2)

1 Introducci´ n o
En este art´culo consideramos el problema de enı contrar una funci´ n v : Σ → R que satisfaga la o ecuaci´ n en derivadas parciales no-lineal o −
2

v +p(v) = h(x, y)

(1)

con condiciones de borde, donde Σ = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] ⊂ R2 , p : R → R, a1 < a2 , y b1 < b2 .
El autor est´ soportado por el proyecto No. PI-08-14a 5463-2006 del CDCH-UCV.
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donde A es una matriz real de orden n, G : Rn → Rn es una funci´ n continuamente diferenciable, o u = (u1 , u2 , . . . , un )T es un vector de Rn , y ui es el valor aproximado de v(x, y) en unpunto interno (xi , yi ) ∈ Σ. La ecuaci´ n (2) representa o un sistema de ecuaciones no-lineales con n ecuaciones y n inc´ gnitas. De esta forma, una soo luci´ n del sistema de ecuaciones no-lineales (2) o representa una soluci´ n aproximada de (1) en un o n´ mero finito de puntos internos de Σ. u Normalmente, para la resoluci´ n del siso tema de ecuaciones (2) se utilizan m´ todos tipo eNewton o Casi-Newton ([14, 6, 7]). El inconveniente de estos m´ todos es que se tornan compue tacionalmente costosos cuando la dimensi´ n del o sistema es muy grande. Recientemente La Cruz [9] presenta el algoritmo NDF-SANE que es una variante de los m´ todos SANE [12] y DF-SANE [11] para sistee mas de ecuaciones no-lineales. El m´ todo NDFe SANE es un algoritmo libre de derivadas que emplea sistem´ticamente el vector residual F (uk ) a como direcci´ n de b´ squeda. Estos m´ todos lio u e bre de derivadas han demostrado ser efectivos y competitivos en comparaci´ n con los bien conoo cidos m´ todos Newton-Krylov [2, 3, 7]. e El objetivo principal de este art´culo es la ı aplicaci´ n del m´ todo NDF-SANE en la resoo e luci´ n del sistema de ecuaciones no-lineales (2) o asociado a la ecuaci´ ndiferencial no-lineal (1). o El art´culo est´ estructurado de la siguiente ı a forma. En la Secci´ n 2 se describe el algorito mo NDF-SANE y su versi´ n precondicionada. o En esta secci´ n tambi´ n se dan algunos detao e lles de su convergencia e implementaci´ n. En o la Secci´ n 3 se presentan algunas experiencias o num´ ricas en la resoluci´ n de ecuaciones difee o renciales no-lineales, donde...