Resolucion De Problemas Fisicos-Matematicos Con Ecuaciones Diferenciales

OBJETIVOS:

Los objetivos de cada problema relacionado, son:
* Aplicar los conocimientos obtenidos durante el curso de Física I para ingeniería sobre el péndulo balístico, para la comprensión y resolución de los problemas planteados.

* Resolver una ecuación diferencial de segundo orden con los conocimientos adquiridos durante el curso de Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería, enconjunto con el enunciado del problema físico-matemático planteado.

* Realizar una demostración matemática utilizando los resultados obtenidos.

* Aplicar Trigonometría y Serie de Maclaurin para demostrar la velocidad de la bala (vb).

* Comprobar los resultados obtenidos a través del cálculo matemático tradicional con los resultados arrojados por el programa Matlab, utilizando elmétodo de Runge-Kutta.
Los objetivos a grandes rasgos del trabajo en general, son:
* Resolver problemas físicos (los cuales están presentes en la naturaleza y vida diaria) a través de los conocimientos obtenidos durante el curso de Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería.
* Profundizar los conocimientos matemáticos investigando sobre el método de Runge-Kutta y comprobar a través de éstemétodo con ayuda de los recursos tecnológicos (Matlab), los resultados obtenidos de la forma tradicional.

Marco teórico

Los tiempos en que se ideo la forma de calcular la velocidad de la bala, el área de la física y la matemática habían progresado de tal manera que la búsqueda de formas para solucionar este tipo de problemas estaba sujeta a la observación de conceptos físicos elementales, comopor ejemplo, la altura máxima alcanzada por el sistema, el ángulo máximo o la velocidad angular. De ahí en más, el proceso para solucionar consistía en aplicar de manera adecuada los conocimientos básicos existentes.
Es así como estas herramientas matemáticas permiten representar el concepto de Péndulo matemático, y posteriormente, el de Péndulo balístico.
Cabe destacar que el Péndulomatemático fue inventado en el año 1742 por el matemático inglés Robin des Benjamin, el cual, a partir de este aporte, revolucionó la rama de la balística, ya que fue el primer instrumento capaz de medir con precisión la velocidad de la bala de un arma.
Es sabido que muchos problemas físicos son representados por ecuaciones diferenciales, por no decir la mayoría. Es lo que ocurre con el péndulo balístico,ya que por medio de conceptos como “momentum lineal” o “conservación de energía”, podemos concretar la ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes d2θdt2+ glθ = 0.
Además de la ecuación de la velocidad de la bala.vb=mw+mbmblgθMáx
A continuación definiremos los conceptos fundamentales que permiten la resolución de este problema:
Altura: Desplazamiento verticalmáximo alcanzado por un objeto, en este caso, el sistema compuesto por la bala más madera.
Trigonometría: Rama de la geometría que nos entrega herramientas para relacionar directamente las distancias (o radio de la cuerda en este caso) y los ángulos del péndulo balístico.
Velocidad angular: magnitud vectorial que relaciona el ángulo alcanzado por una partícula en un determinado instante de tiempo.Velocidad: magnitud vectorial que relaciona la distancia lineal recorrida por un cuerpo en un pequeño instante de tiempo. En este trabajo, una de las principales tareas que se nos presenta, es encontrar la velocidad a la que es lanzado el proyectil o la bala.

Ángulo máximo: Ángulo total alcanzado por el sistema. El péndulo compuesto por la madera está en posición vertical, pero al momentodel impacto, y por cuestiones prácticas, el misil impacta de izquierda a derecha, causando un desplazamiento en ese sentido. El ángulo máximo, es una de las tareas fundamentales de este trabajo, teniendo que encontrarlo a través de la resolución de la ecuación diferencial mencionada en párrafos anteriores.
Momentum lineal: También conocido como “cantidad de movimiento” definido por el...