Resolucion De Problemas

Algunas Estrategias B´sicas a para la Resoluci´n de Problemas o de Olimp´ ıadas Matem´ticas a
Jos´ H. Nieto (jhnieto@luz.ve) e
Resumen En estas notas se enuncian cuatro estrategias b´sicas para la soluci´n a o de problemas matem´ticos y se ilustra su aplicaci´n con varios ejemplos, a o muchos de ellos tomados de olimp´ ıadas realizadas en el ´mbito latinoaa mericano.

1.

Introducci´n oPara resolver problemas matem´ticos no existen recetas infalibles. Aunque a los conocimientos y la t´cnica juegan un rol importante, no son suficientes: e para ser un buen solucionista tambi´n hacen falta ingenio, creatividad,control, e motivaci´n y otras cualidades y habilidades. o Muchos expertos afirman que la unica manera de aprender a resolver pro´ blemas es... ¡resolviendo muchos problemas!As´ como un buen deportista debe ı dedicar muchas horas a su entrenamiento, quien desee llegar a ser un h´bil a solucionista de problemas debe dedicarle suficiente tiempo a esta actividad. Sin embargo existen algunos principios y estrategias que los buenos solucionistas aplican, de manera consciente o inconsciente. A ese conjunto de nociones utiles para resolver problemas se le llama heur´ ´ ıstica, ysu conocimiento y aplicaci´n puede ser de mucha utilidad para los que se inician. El primero en llamar o la atenci´n sobre la importancia de la heur´ o ıstica fue George Polya [2]. En estas notas se enuncian cuatro estrategias b´sicas para la soluci´n de a o problemas matem´ticos de tipo ol´ a ımpico y se ilustra su aplicaci´n a la soluci´n de o o problemas tomados de varias competenciasmatem´ticas realizadas en el ´mbito a a latinoamericano.

2.

Estrategias

En esta secci´n enunciaremos algunos de los principios heur´ o ısticos m´s utiles a ´ (seg´n la experiencia del autor), ejemplificando su aplicaci´n en la soluci´n de u o o problemas de tipo ol´ ımpico.

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2.1.

Figuras y diagramas

El proverbio una figura vale m´s que mil palabras tiene plena validez en la aresoluci´n de problemas matem´ticos. Por eso nuestra primera estrategia es: o a Estrategia 1. Siempre que sea posible dibuje una figura. La importancia de este principio es obvia cuando se trata de resolver un problema de geometr´ Pero hay muchos problemas que sin ser de geometr´ ıa. ıa admiten una interpretaci´n geom´trica, lo cual ampl´ mucho el verdadero alo e ıa cance de esta estrategia. Los siguientesejemplos ilustran lo dicho. Problema 2.1 (Olimpiada Bolivariana 2000). Sean a1 , A1 , a2 , A2 , a3 , A3 n´meros reales positivos tales que ai + Ai = k, u donde k es una constante dada. a) Demostrar que a1 A2 + a2 A3 + a3 A1 < k 2 .

b) Sean a1 , A1 , a2 , A2 , a3 , A3 , a4 , A4 reales positivos tales que ai + Ai = k, donde k es una constante dada. Si ai ≥ Ai , demostrar que a1 A2 + a2 A3 + a3 A4+ a4 A1 ≤ k 2 , y determinar cu´ndo se tiene la igualdad. a Soluci´n. Cada igualdad ai +Ai = k puede representarse mediante un segmento o de longitud k dividido en dos partes de longitudes ai y Ai . Con estos tres segmentos podemos construir un tri´ngulo equil´tero como se muestra en la a a figura: T

P

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