resolucion de sistemas de ecuaciones lineales con parametros

4

Sistemas lineales
con parámetros

1. Teorema de Rouché
■ Piensa y calcula
Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones:

(

)( ) ( )

x
1 2 –3
0
y =
2 –1 0
2
z

Solución:
x + 2y – 3z = 0 °
2x – y
= 2 ¢£

● Aplica la teoría
a) x – y
= 2°
§
2x + y + 2z = 0 ¢
x – y + 2z = 1 §£
Solución:
a) 1 – 1
2 1
1 –1
b)

(
(

2
1
–1

0
2
2b) 2x + y – z = 2 °
§
x + y + 2z = 5 ¢
–x
+ 5z = 3 §£

)( ) ( )
)( ) ( )
x
2
y = 0
z
1

1 –1
1 2
0 5

x
2
y = 5
z
3

2. Escribe en forma ordinaria el siguiente sistema:

(

() ) ( )

1 0 –2 x
1
3 1 1 y = 3
2 –1 2 z
0

Solución:
x
– 2z = 1 °
§
3x + y + z = 3 ¢
2x – y + 2z = 0 §£

Solución:
a) Se calcula el determinante de la matriz de loscoeficientes:
3 –1 2
|C| = 1 4 1 = – 13
2 –5 0
Como el determinante de C es distinto de cero, el
R(C) = 3 y se tiene:
R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas ò Sistema
compatible determinado.
b) Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
3 2 2
|C| = 3 –2 –2 = 0
–1 3 3
Como el determinante de C es igual a cero, se halla
el rango de A y C por Gauss:

|

|

R

(

140

b)3x + 2y + 2z = 15 °
§
3x – 2y – 2z = – 1 ¢
– x + 3y + 3z = 3 §£

|

)

3 2 2 15
3 –2 –2 –1 =
–1 3 3 3

=R

3. Discute los siguientes sistemas:
a) 3x – y + 2z = 1 °
§
x + 4y + z = 0 ¢
2x – 5y
= – 2 §£

|

=R

(
(

–1 3 3 3
3 –2 –2 –1
3 2 2 15
–1
0
0

3
7
4

3 3
7 8
4 16

)
)

2ª + 3 · 1ª

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

1. Escribe los siguientessistemas en forma matricial:

=

3ª – 2ª

=
3ª : 4

SOLUCIONARIO

=R

=R

(
(

–1
0
0

3
7
1

3
7
1

3
8
4

–1
0
0

3
7
0

3 3
7 8
0 20

)
)

=

R

7 · 3ª – 2ª

=R

R(C) = 2 < R(A) = 3 ò Sistema incompatible.

b) x + 2y + z = 1 °
§
2x + 3y + 2z = 0 ¢
x + y + 2z = 3 §£

Solución:
a) Se calcula el determinante
cientes:
2
|C| = 1
–1|

(
(

)

1 –1
1 0
0 1

1
2
–1

1
=R 0
0

4. Discute los siguientes sistemas:
a) 2x + y – z = 0 °
§
x+y
= 1¢
–x
+ z = 1 §£

(

2
1
–1

0
1 =
1

1 0
1 –1
0 1
1
1
1

1
0
1

)

)

0
1
1

=

2 · 1ª – 2ª
1ª + 3ª

1
1
2 =R
0
2

(

1
1

0
1

1
2

)

R(C) = R(A) = 2 < número de incógnitas ò Sistema
compatibleindeterminado.
b) Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

|

1
|C| = 2
1

de la matriz de los coefi-

|

1 –1
1 0 =0
0 1

2
3
1

|

1
2 = –1
2

Como el determinante de C es distinto de cero, el
R(C) = 3 y se tiene:
R(C) = R(A) = 3 = número de incógnitas ò Sistema
compatible determinado.

Como el determinante de C es igual a cero, se halla
el rango de A yC por Gauss:

2. Regla de Cramer y forma matricial
■ Piensa y calcula
Dado el siguiente sistema, resuélvelo matricialmente:

( )( ) ( )
1
1

1 x
3
=
2 y
4

Solución:

() (

x
2
=
y
–1

)( ) ( )

–1 3
2
=
1 4
1

● Aplica la teoría
5. Resuelve por Cramer:

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

a) 2x + y
= 5
x
+ 3z = 16
5y – z = 10

°
§
¢
§
£

b) x + y – 2z= 6 °
§
2x + 3y – 7z = 16 ¢
5x + 2y + z = 16 §£

Solución:
a) Determinante de los coeficientes:
2 1 0
|C| = 1 0 3 = – 29
0 5 –1

|

|

La solución es:
5 1 0
16 0 3
10 5 – 1
–29
x=
=
=1
–29
– 29

|

|

TEMA 4. SISTEMAS LINEALES CON PARÁMETROS

y=

z=

|

2 5 0
1 16 3
0 10 –1
–87
=
=3
–29
–29

|

2
1
0

|

1 5
0 16
5 10
– 145
=
=5
–29–29

|

b) Determinante de los coeficientes:

|

1
|C| = 2
5

|

1 –2
3 –7 = 2
2 1

141

La solución es:

La solución es:

|

6
16
16

|

0
10
–10
1

|

1 6 –2
2 16 – 7
5 16 1
2
=
=1
2
2

|

|

1
2
5

4
0 5 5
2
10 3 –1
1 –10 –5 0
0
1 2 0
290
=
= –1
–
290
– 290

|

4
2
1
0

4
0 5
0
10 –1
1 –10 0
3
1 0
– 580
=
=2...