Resolucion de tri angulos rect angulos

Resolución de triángulos rectángulos
Dado el triángulo de vértices A, B, C designaremos a los ángulos también por A, B y C y a los lados opuestos por a, b y c respectivamente. Sabemos que A+B+C=180º y que los lados verifican el teorema de Pitágoras, también se verifica el teorema del cateto de la altura
Resolver un triángulo consiste en hallar todos sus lados y sus ángulos.
Supongamosque conocemos dos lados del triángulo, entonces mediante el teorema de Pitágoras podemos conocer el tercer lado, mediante las razones trigonométricas calculamos un ángulo, y el otro es su complementario.
Ejemplo.- Dado el triángulo rectángulo del que sabemos que los catetos miden 3 y 4 cm respectivamente. Resolver el triángulo. 
Aplicamos el teorema de Pitágoras para obtener la hipotenusa.
A
Conocemos unlado y un ángulo, en este caso podemos obtener el tercer ángulo y utilizando las razones trigonométricas obtenemos los otros dos lados.
Vamos a considerar ahora triángulos cualesquiera, para resolver necesitamos de los teoremas del seno y del coseno.
Resolver un triángulo consiste en hallar sus lados, ángulos y área.
Para resolver un triángulo rectángulo se necesita conocer dos lados del triángulo, obien un lado y un ángulo distinto del recto.Ejercicios
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
sen B = 280/415 = 0.6747 B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′
c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.
tg B = 33/21 = 1.5714 B = 57° 32′C = 90° - 57° 32′ = 32° 28′
a = b/sen B a = 33/0.5437 = 39.12 m
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo
C = 90° - 22° = 68°
b = a sen 22° b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22° c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos rectángulos:
1. Se conocen lahipotenusa y un cateto




Se conocen los dos catetos






3.Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo





4. Se conocen un cateto y un ángulo agudo







Triángulos oblicuángulos
Para resolver triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.Dependiendo de los elementos que conozcamos, nos encontramos con cuatro tipos de resolución de triángulos oblicuángulos:
1º.Conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él




De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.




2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido




De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.











3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución
sen B = 1 Triángulo rectángulosen B < 1. Una o dos soluciones

Supongamos que tenemos a, b y A; al aplicar el teorema de los senos puede suceder:
1. sen B > 1. No hay solución.
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.


Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.
 




2. sen B = 1. Soluciónúnica: triángulo rectángulo
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.







 3. sen B < 1. Una o dos soluciones
Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.







Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.







4º. Conociendo los tres lados




Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.





Identidades trigonométricas.
Unaidentidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.
Relación pitagórica

Identidad de la razón

De estas dos identidades,...