resolucion de triangulos

83

Resolución de triángulos rectángulos
Recuerda que en un triángulo rectángulo se cumple:

cateto opuesto c
=
hipotenusa
a
ˆ cateto adyacente = b
cos C =
hipotenusa
a
cateto opuesto
c
ˆ
tg C =
=
cateto adyacente b

ˆ cateto adyacente = c
cot g B =
cateto opuesto
b

ˆ cateto adyacente = b
cot g C =
cateto opuesto
c

hipotenusa
a
ˆ
sec B =
=
cateto adyacente chipotenusa
a
ˆ
sec C =
=
cateto adyacente b

ˆ
cos ec B =

hipotenusa
a
=
cateto opuesto b

ˆ
sen C =

ˆ
cos ec C =

hipotenusa
a
=
cateto opuesto c

C
hipotenusa
a

b

c
A
cateto adyacente
cateto adyacente

cateto opuesto b
=
hipotenusa
a
ˆ cateto adyacente = c
cos B =
hipotenusa
a
cateto opuesto
b
ˆ
tg B =
=
cateto adyacente c
ˆ
sen B =cateto opuesto

Razones trigonométricas

B

C
hipotenusa
a

b

c

A

B

cateto opuesto

Teorema de Pitágoras
a2 = b2 +c2

Los ángulos agudos son complementarios
ˆ ˆ
B + C = 90º

Ejemplo 1
 a = 20 cm

Datos: 

 B = 28º 35' 12''
ˆ


ˆ

C=

b =

Incógnitas: 

c =


 sup. =




C
b

ˆ
Cálculo de C

Cálculo de b

ˆ ˆ
B +C = 90º
ˆ
C = 90º −28º 35 ' 12"
ˆ
C = 61º 24' 48"

sup =

c

B

Cálculo de la sup.

ˆ b
senB =
a

A

ˆ b
senB =
a

Cálculo de c

a

84

ˆ
b = a · senB
b = 20 cm · sen28º 35' 12"
b = 9,57 cm

b·h
2

Resolución de triángulos

ˆ
b = a · senB
b = 20 cm · sen28º 35' 12"

sup =

b = 9,57 cm

sup =

6

c·b
2
17,56 cm · 9,57 cm

R
E
S
O
L
U
CI
Ó
N

2
sup = 84,02 cm 2

Ejemplo 2
a =



B =
ˆ
Incógnitas: 

C=
ˆ


 sup. =



 b = 43,92 cm

Datos: 

 c = 75,5 cm



a=

b2 +c2

( 43,92 cm )

b

2

+ ( 75,5 cm )

a

A

ˆ
Cálculo de B

Cálculo de a

a=

C

c

B

ˆ b
tgB =
c
ˆ = 43,92 cm
tgB
75,5 cm

2

a = 87,35 cm

D
E

43,92 cm
ˆ
B = arctg75,5 cm
ˆ = 30º 11' 15"
B

Cálculo de c

T
R
I
Á
N
G
U
L
O
S

Cálculo de la sup.

ˆ c
tgC =
b
75,5cm
ˆ
tgC =
43,92 cm

sup =
sup =

75,5
ˆ
C = arctg
43,92
ˆ = 59º 48' 45 "
C

sup =

b·h
2
c·b
2
75,5 cm · 43,92 cm

2
sup = 1.657,98 cm 2

Actividad 1: Con los siguientes datos resolver los triángulos.
 B = 18 º 13 ' 45 ''
ˆ
1) 

 b = 22,97 m


 C = 61º 43' 38 ''
ˆ
2) 


 a = 968 m


 b = 84,5 m

3) 

 c = 34 m



 C = 79 º 54 ' 32''
ˆ
4) 


 b = 22,97 m


 b = 38,75 m

5) 

 c = 29,16 m



 a = 756,63 cm

6) 

 c = 627,41 cm



Resolución de triángulos

85

Resolución de triángulos oblicuángulos
Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de susángulos interiores es recto.
En un triángulo oblicuángulo se cumple:

Teorema del seno
a
ˆ
sen A

=

b
ˆ
sen B

=

C

c

a

ˆ
sen C

b

Teorema del coseno

A

c

B

ˆ
a2 = b2 + c 2 − 2 · b · c · cos A
ˆ
b2 = a2 + c 2 − 2 · a · c · cos B
ˆ
c 2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos C

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º
ˆ ˆ ˆ
A + B + C = 180º
En un triángulo oblicuángulo la superficie es igual

1
de dos de sus lados por el seno del ángulo
2

que ellos forman.

1
ˆ
· b · c · sen A
2
1
ˆ
Sup. = · a · c · sen B
2
1
ˆ
Sup. = · a · B · sen C
2
Sup. =

Ejemplo 1
ˆ

A =

b =

Incógnitas: 

c =


 sup. =




 a = 25,2 cm



Datos:  B = 56º 25' 17 ''
ˆ

ˆ
 C = 38º 40 '12''



ˆ
Cálculo de A

a
b

Cálculo de b

A

a

ˆ ˆ ˆ
A + B + C = 180º

(

ˆ
ˆ ˆ
A = 180º − B + C

)

ˆ
A = 180º − ( 56º 25 ' 17"+ 38º 40 ' 12" )
ˆ
A = 180º − 95º 5' 29"
ˆ
A = 84º 54 ' 31"

86

C

ˆ
sen A
25,2 cm

=
=

sen84º 54' 31"
b=

c

B

b
ˆ
senB
b
sen56º 25' 17 "
25,2 cm · sen56º 25' 17 "

sen84º 54' 31"
b = 21,08 cm...