Resolucion de triangulos

TEMA 4 – RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS – MATEMÁTICAS I – 1º Bach.

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TEMA 4 – RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 4.1 – RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO (0º a 90º)
DEFINICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

SENO DEL ÁNGULO α: es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa sen α =
cateto opuesto y = hipotenusa h

COSENO DEL ÁNGULO α: es la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa cos α= cateto contiguo x = hipotenusa h

TANGENTE DEL ÁNGULO α: es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo tg α = cateto opuesto y = cateto contiguo x

COSECANTE DEL ÁNGULO α: es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto cosec α = 1 h = senα y

SECANTE DEL ÁNGULO α: es la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo sec α =

1 h = cosα x

COTANGENTE DEL ÁNGULO α: es larazón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto 1 x cotag α = = tg α y

TEMA 4 – RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS – MATEMÁTICAS I – 1º Bach. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Teorema de Pitágoras : x2 + y2 = h2
y h Dividiendo entre x : 1 +   =   x x
2
2 2
2 2

2

⇒ 1 + tag2 α = sec2 α

x h Dividiendo entre y :   + 1 =   ⇒ cotag2 α + 1 = cosec2 α y y   
2

x y Dividiendo entre h :   +   = 1 ⇒ cos2 α + sen2 α = 1 h h
2

2

2

Razones inversas : sec α =

1 cos α

; cosec α =

1 sen α

; cotag α =

1 tagα

La tangente: tag α =

y y h sen α = = x x h cos α

4.2 – RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA (0º a 360º)
CIRCUNFERENCIA DE RADIO r P(x,y) r
sen α = y r

cosecα =

r y

cosα =

x r y tgα =x

secα =

r x x c tg α = y

CIRCUNFERENCIA UNIDAD o GONIOMÉTRICA
1 y

P(x,y) 1

sen α = y

cosecα =

cos α = x

secα =

tgα =

y x

1 x x c tg α = y

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SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES SEN α COS α TAG α

CUADRANTES

DIBUJO

ÁNGULO

1º

0º < α < 90º

+

+

+

2º90º< α < 180º

+

-

-

3º

180º < α < 270º

-

-

+

4º

270º < α < 360º

-

+

-

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4.3 – AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO
ÁNGULOS MAYORES DE 360º Los valores comprendidos entre 0º y 360º nos permiten expresar la medida de cualquier ángulo. Por ejemplo, podemos darle sentido al ángulo 400º = 360º +40º al situarlo sobre la circunferencia goniométrica, pues el segundo lado dará una vuelta completa (360º) más un ángulo de 40º : 400º = 360º + 40º = 1 vuelta + 40º Para cualquier ángulo mayor que 360º se divide entre 360 y el cociente nos da el número de vueltas enteras y el resto, el ángulo β(entre 0º y 360º) α = n.360º + β, donde n es un número entero de vueltas (positivo o negativo) ÁNGULOSNEGATIVOS Los ángulos negativos se miden a favor de las agujas del reloj. Para convertir un ángulo negativo en positivo, se le suman tantas vueltas como sean necesarias hasta obtener un ángulo entre 0º y 360º. Las razones trigonométricas se mantienen. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS CON CALCULADORA Obtener las razones trigonométricas de un ángulo Las calculadoras científicas tienen las teclas “sin”, “cos”,“tan”, correspondiente a las razones trigonométricas sen, cos y tag. Si el ángulo viene dado en grados, la calculadora tiene que estar en modo “DEG” Pasar de grados, minutos y segundos a grados y viceversa La tecla “º’’’” permite introducir en la calculadora un ángulo dado en grados, minutos y segundos. La calculadora nos da, automáticamente, una expresión decimal de la medida del ángulo (engrados). Para pasar de una expresión decimal de grados a grados, minutos y segundos, se utiliza la secuencia “INV” “º’’’” (“INV” = “SHIFT”) Cálculo de un ángulo conocida una razón trigonométrica Para hallar el ángulo cuyo seno es un cierto número, se utiliza la tecla “sen-1” (arcoseno) que suele corresponder a la secuencia “INV” “SIN”. Análogamente para coseno y tangente. Cálculo de una razón...