Resolucionultimoexamen

Segundo parcial - 27/10/11

Problema Nº 1: Una varilla uniforme de largo L y masa m, () está articulada en un extremo a un punto fijo O, inicialmente en reposo y horizontal. Si ella se suelta, comienza a rotar respecto a la articulación bajo el efecto del peso de la barra. Determine: a) la aceleración angular y la velocidad angular en función del ángulo que ella ha girado, b) la fuerza sobrela articulación en el instante que pasa por la posición vertical y c) la energía cinética de la varilla en ese instante. Dar los resultados en función de m y L.
Resolución:
a) 

→

La velocidad angular puede ser obtenida de dos maneras:

1.- Mediante consideraciones energéticas. Tomando como nivel de referencia para la energía potencial el eje x y considerando que el trabajo defuerzas no conservativas es nulo se puede escribir:

Por lo tanto la energía mecánica de la varilla en posición horizontal será igual a la que tiene cuando forme un ángulo θ cualquiera. Entonces:


Y luego:



2.- A partir de la expresión de α en función de θ.

Poniendo  queda  y luego separando variables:



y después integrando


se llega ha:



b)m g

c) La energía cinética en el instante que la varilla pasa por la posición vertical puede hallarse de tres formas distintas:

1.-
Entre las posiciones A y B:



Por lo tanto:


Y luego:




Entonces:


2.-






3.-






Problema Nº 2: El péndulo de un reloj de pared está constituido por una varilla homogénea de 1 m de longitud y masa m en cuyo extremo seencuentra un disco macizo y homogéneo de masa M = 20 m. Calcular a) el radio que debe tener el disco para que el reloj funcione con un periodo de 2 s sin amortiguamiento y b) el coeficiente de amortiguamiento del sistema si la amplitud de las oscilaciones se reduce a ¼ de la inicial en 11 minutos. Momento de inercia del disco: 


Resolución:










Para oscilaciones de pequeña amplitud:



Porlo tanto la frecuencia angular de las oscilaciones es:


Y el período:

Despejando R se obtiene:




Reemplazando en la ecuación anterior los datos del problema, resulta: R = 4,7 cm.

b)

 →  → 






Problema Nº 3: Se bombea agua desde un río hasta un depósito que abastece a un poblado, a través de una tubería de 15 cm de diámetro. La toma del agua se encuentra ah1 = 564 m de altura sobre el nivel del mar y la salida de la cañería a h2 = 2096 m. Asumiendo un comportamiento ideal, sin pérdidas en la cañería, a) ¿Cuál es la presión mínima que debe suministrar la bomba para que el agua llegue al depósito? b) Si para satisfacer el consumo de la población, se deben bombear 4500 m3 diarios, ¿cuál deberá ser la velocidad del agua en la cañería? c) Un técnicodebe verificar esta velocidad midiendo la diferencia de altura que alcanza un líquido inmiscible en agua, de densidad 6000 kg/m3, en las ramas de un tubo en U incerto en un tramo horizontal de la cañería, al mismo nivel que la bomba. Una de las ramas del tubo en U está conectada a un punto donde la cañería tiene un estrechamiento cuya sección es la 2/3 parte del área normal de la cañería. ¿Cuál debeser la diferencia de alturas h del líquido en dicho tubo si la velocidad del agua en la cañería es la necesaria para mantener ese suministro? Tomar: presión atmosférica Po = 1,013 105 Pa, densidad del agua ρ = 1000 kg/m3.
Resolución:

a)  → 

b)  →


c)

Aplicando las ecuaciones de Bernoulli y continuidad entre 1 y 2:





resulta:



Luego:
 y

Como P3 = P4 se puede escribir:



Igualando * y ** se llega a:

h = 11,1 cm













Problema Nº 4: Un litro de gas ideal (γ = 5/3) que se encuentra a 20 ºC y 1 atm de presión es sometido a los siguientes cambios: se aumenta el volumen al doble manteniendo la presión constante; luego, isotérmicamente se lleva el volumen al triple del inicial; y, por último, se vuelve adiabáticamente a...