Resolución cuestionario cap-9 tomasi

Estabilidad.
Al estudiar la estabilidad de un sistema se debe distinguir entre estabilidad absoluta y estabilidad relativa.
Estabilidad absoluta:
Si un sistema lineal invariante en el tiempo es estable volverá a su condición de equilibrio después ser sometido a una perturbación en una de sus entradas. Matemáticamente, se sabe que un sistema es estable cuando todas las raíces de suecuación característica se encuentran localizadas en el semiplano izquierdo del plano s.
Estabilidad relativa:
Se refiere al grado de estabilidad de la respuesta y se mide con parámetros como el factor de amortiguamiento ([pic]) y el máximo pico Mp.
Criterio de Ruth:
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz para un sistema a lazo cerrado no requiere del calculo de los valores de lasraíces de la ecuación característica, este criterio sólo indica si la raíces están del lado derecho del eje imaginario.

[pic]

[pic], en los sistemas a lazo cerrado el denominador de C(s)/R(s) constituye la ecuación característica. E.C=1+G(s)H(s)=1+FTLA.

Si la ecuación característica se expresa en la forma polinomial:
1+G(s)H(s)=ao.Sn+ a1.Sn-1+a2.Sn-2….+a n-1.S+an=0
donde ao debe serpositivo.

El criterio de Routh se aplica según:
1era prueba:
Si alguno de los coeficientes es negativo, existe al menos una raíz de la ecuación característica cuyo parte real es positiva y no se requiere de un mayor análisis, el sistema es inestable.
2da prueba:
Se hace el arreglo de Routh:
Donde:
|sn |ao |a2 |a4 |a6 |
|sn-1|a1 |a3 |a5 |a7 |
|sn-2 |A1 |A2 |A3 | |
|sn-3 |B1 |B2 |B3 | |
|sn-4 |C1 |C2 |C3 | |
|… | | | | |
|s|V1 |V2 | | |
|s0 |W1 |W2 | | |

A1=[pic], A2=[pic], A3=[pic]
B1=[pic], B2=[pic],
C1=[pic]
▪ Si alguno de los elementos de la primera columna es negativo hay al menos una raíz positiva y el sistema es inestable.
▪ El número de cambios de signo en la primera columna es igual alnúmero de raíces positivas de la ecuación característica.

Técnica del lugar geométrico de las raíces (LGR)
Las propiedades transitorias del sistema dependen de los ceros de la función de transferencia a lazo cerrado y de las raíces de la ecuación característica, los cuales determinan la estabilidad relativa y absoluta de un sistema.
El lugar geométrico de las raíces es una representacióngráfica de la variación de las raíces de la ecuación característica a medida que la ganancia de lazo cerrado varía de cero a infinito.
Es importante estudiar como varían estas trayectorias cuando una modificación en los parámetros del sistema afecta la ecuación característica y consecuentemente la ubicación de sus polos a lazo cerrado.
Propiedades básicas del lugar geométrico de lasraíces:
Sea el sistema a lazo cerrado:

Donde la función de transferencia de lazo cerrado es:
[pic]
y la ecuación característica es:
E. c.: [pic]
Recordar que:
[pic]=[pic]

Así, la ecuación característica queda determinada por la combinación de ceros y polos que constituyen a G(s)´y H(s)´ y dos parámetros que son la ganancia del sistema K´ y la ganancia del controlador.
E. c.:[pic]
Parametrización:
Si llamamos Ka K´.Kc y lo consideramos como un parámetro único se tiene:
E. c.: [pic]
Entonces la ecuación se puede escribir como:
[pic]
Esta ecuación parametrizada en función de la ganancia debe cumplir con las siguientes condiciones:
Condición de magnitud:
[pic] [pic] [pic] para [pic]
Condición de ángulo:
[pic] para...