Resolución de problemas de máximos y mínimos.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
POR MEDIO DE ÁREAS Y VOLÚMENES

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se presenta una definición y una explicación acerca de Máximos y Mínimos en una función en el cálculo integral y diferencial.

Se encontrara, además, una manera sencilla con la que podrán realizar los problemas que se presentan con Máximos y los Mínimos, expuestos por medio deejercicios resueltos.

¿QUÉ SON MÁXIMOS Y MÍNIMOS?

Una función puede tener, en un determinado intervalo, máximos y mínimos. En el máximo la función alcanza el mayor valor, y en el mínimo, el menor.

Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derechacreciente.

Imagen:

Imagen:

El hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muy útil para el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, esparalela al eje x. También, se pueden establecer los intervalos en los que la gráfica está sobre o debajo de la tangente.

Valor máximo relativo:

Se dice que la función f tiene un valor máximo relatico en el No. C si c ∈ (a, b), tal que f (c) ≥ f (x) ∀ x ∈ (a, b)

En la siguiente figura se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor máximo relativo en c. Dicho valor es d y ocurre en  c.
El valor máximo relativo de f en (a, b) es d.

Valor mínimo relativo:

Se dice que la función f tiene un valor mínimo relativo en el No. c si ∈ (a, b), tal que f (c) ≤ f (x) ∀ x ∈ (a, b)

En la figura abajo se puede observar un ejemplo de una función que tiene un valor mínimo relativo en c. Dicho valor es d  y ocurre en  c.
El valor mínimo relativo de f en (a,b) es d.Si una función tiene un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo en c, se dice entonces que la función tiene un extremo relativo en c.

Teorema:

Si f (x) ∃∀x ∈(a, b), y si f tiene un valor extremo o relativo en c, donde a <c<b, entonces f ‘(c)= 0.

El teorema anterior establece que la recta tangente a la gráfica de la  f  en el punto en donde ocurre un extremo relativo esparalela al eje x.

* Si  f es diferenciable, los únicos posibles valores de x para los cuales  f  tiene un extremo relativo son aquellos en los que  f '(x) = 0. No obstante, ocurre con muchas funciones que a pesar de que  f '(x) = 0, no hay  un extremo relativo allí. En la fig.3 se puede apreciar un ejemplo de esta situación.

* También puede suceder que alguna función  f tenga unextremo relativo en un número dado y sin embargo no ser diferenciable en dicho número. La fig.4 ilustra este hecho.

* Por último, para ciertas funciones f(c) existe y  f'(c) no existe y sin embargo no hay un extremo relativo en c. En la fig.5 se muestra la gráfica de una función donde ocurre esta situación.

Figura 3 Figura 4 Figura 5

Numero crítico:
Si c ∈ domf y si f ‘(c) = 0 o f‘(c) no existe, entonces c se denomina numero critico de f.

Valor máximo o absoluto en un intervalo:
Una función f tiene un valor máximo absoluto en un intervalo (a, b), si existe un c ∈(a, b), tal que f(c) ≤ f(x), ∀ x∈(a, b).

Figura 6

En la fig.6 se muestra la gráfica de una función en donde el valor mínimo absoluto ocurre en a, el valor máximo absoluto ocurre en b. En e la función tieneun valor máximo relativo, y en d un valor mínimo relativo.  

Cuando una función tiene un valor máximo o un valor mínimo absoluto en un intervalo, se dice que la función tiene un extremo absoluto en el intervalo.

* Una función dada puede tener o no tener un extremo absoluto en un intervalo.
En la (fig.7) se puede observar que la función tiene un valor máximo absoluto en c (también es...