Resolver Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales

Esta materia es una de las más odiadas en muchas carreras. Ya que a mi me tocaron maestros de mierda que no sabían nada y no se les entendía ni madres, tuve que investigar mucho para para aprender esto y poder pasar la materia. El objetivo de este post es explicar losprincipales métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de forma fácil y entendible. Con sólo anotar algunas fórmulas, formas y conceptos, las ecuaciones se volverán más claras y su respuesta será más accesible. Empecemos. 

Una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene derivadas, punto. Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de funciones que dependen de unasola variable independiente. Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, puedan o no resolverse las mismas. 

Clasificación

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias se dividen en lineales y no-lineales. Son lineales si todos sus términos son lineales respecto a la variable dependiente y sus derivadas. De lo contrario, no eslineal. Recordemos que para que un término sea lineal, debe estar expresado de forma que al graficarlo nos quede una línea recta. Osea que y², y³, e^y, log(y) NO son lineales. Así mismo, las EDO se dividen en homogénea y no homogénea. Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable independiente. Ejemplos. 

Ecuaciones Diferenciales de 1er orden

Una ecuacióndiferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Osea que, en geometría analítica, tendrían la forma de las ecuaciones de primer grado. Éstas son las ecuaciones diferenciales más sencillas y no se necesitan muchos cálculos. Existen básicamente 7 formas en que se presentan estas ecuaciones deprimer orden, en las cuales no se hace más que aplicar álgebra y cálculo elemental. 

1. ECUACIÓN DIFERENCIAL SEPARABLE 

y' = F(x, y). General 

Esta forma es la más fácil de las Ecuaciones Diferenciales. Lo único que tenemos que hacer es acomodarla de tal forma que en un lado de la igualdad nos quede dx y del otro dy con sus respectivas variables. Es separable si el segundo miembro de ladiferencial la podemos expresar como el producto de 2 funciones. Una que dependa solo de la variable dependiente y otra que contenga sólo la variable independiente. O sea: y'= f(x)*g(x) 

Ejemplo. 

Ya que en este caso nos quedó la variable dependiente despejada, le llamamos a esta solución explícita. La solución debe quedar en lo posible de esta forma, aunque se dan casos donde la variabledependiente no puede quedar despejada; a dicha solución la llamaremos implícita. Algunos maestros tienen la puta costumbre de comprobar el resultado, derivando la solución y reemplazarla en la ecuación original para cerciorarnos de que se cumple. Aquí no pongo algún ejemplo porque es muy fácil, pero tengamos en cuenta que se llega a complicar en ecuaciones diferenciales de orden superior. 

2. ECUACIÓNDIFERENCIAL LINEAL 

y' + P(x)y = g(x) -no es separable 

a) Método de factor integrante 

Entonces lo único que vas a hacer es utilizara esta formulita: 
 

Ejemplo: 

b) Método de variación de parámetros 

Cuando encontremos una ecuación que tenga la forma y' + p(x)y = g(x); g(x) = 0 aplicamos esta otra fórmula: 

 

Ejemplo: 

Nótese que esta ecuación se pudo resolver...