Resolver triangulos en VIsual BAsic
Páginas: 8 (1862 palabras)
Publicado: 27 de marzo de 2012
Sección
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 1, No 2. Agosto − Diciembre 2001.
Resolver triángulos en Visual Basic. Parte 1/3
Luis Acuña P.
lacuna@itcr.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Introducción
Uno de los últimos temas de trigonometría que se estudian en secundaria es la resolución de triángulosusando las leyes de senos y cosenos. En un triángulo cualquiera, las medidas más importantes son las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos. En su forma más general, el problema de resolver un triángulo consiste en determinar las tres medidas desconocidas cuando se conocen tres. En la notación usual, las letras a, b y c denotan los lados, y las mayúsculas A, B y C denotan losrespectivos ángulos opuestos: A e e e c e eb e e e e a B C No todos los casos tienen solución. Por ejemplo, conocer las medidas de los tres ángulos no da ninguna pista acerca de las longitudes de los lados. Pero por el contrario, conocer los tres lados permite encontrar los ángulos sin problema. Vamos a desarrollar un programa en Visual Basic que permita al usuario indicar tres datoscualesquiera, determine si es posible calcular las otras tres medidas, y muestre gráficamente la o las soluciones (dibujando un triángulo con los ángulos correctos y los lados en proporción a sus medidas). En esta columna vamos a abordar parte del problema matemático. En la siguiente terminaremos con ese problema y desarrollaremos la interfaz con el usuario, pero por ahora hay varios detalles deprogramación que resolver.
1.1
Las leyes de senos y de cosenos
La clave para resolver el problema de determinar las tres medidas faltantes en un triángulo está en usar apropiadamente las siguientes fórmulas trigonométricas (todas en la notación usual que describimos arriba). La ley de senos: En palabras, dice que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La fórmula es b ca = = . sen A sen B senC
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Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 1, No 2. Agosto − Diciembre 2001.
La ley de cosenos: Es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Puede verse en tres formas distintas pero equivalentes: a2 b2 c2 = b2 + c2 − 2bc cos A = a2 + c2 − 2ac cos B = a2 + b2 − 2ab cosC.
En ninguna delas fórmulas está despejado un ángulo. Si se quiere encontrar el valor de un ángulo deberá despejarse de la fórmula apropiada (dependiendo de los datos que se conocen) y aplicar seno inverso o coseno inverso. La función coseno tiene inversa en el dominio que nos interesa para triángulos, que es [0, π] = [0◦ , 180◦ ]. Pero la función seno no tiene inversa allí, sino en el dominio [−π/2, π/2] = [−90◦, 90◦ ]. Por lo anterior, la ley de senos no es recomendable para encontrar ángulos obtusos. En un triángulo, solamente el ángulo mayor podría ser obtuso. Entonces se recomienda que, de ser posible, no se use la ley de senos para encontrar el ángulo mayor. Los casos en los que esto es inevitable comúnmente llevan a dos soluciones: un ángulo obtuso y otro agudo.
1.2
Los distintos casos porresolver
Si los triángulos tienen seis medidas (tres ángulos y tres lados), son muchas las combinaciones de tres datos conocidos: pueden conocerse los tres ángulos, o dos de los ángulos y el lado entre ellos, o dos de los ángulos y un lado no entre ellos, etc. En total son ocho posibilidades, que por simetría se reducen a seis. Vamos a denotarlas con un código de tres letras, en el que lasletras A y L denotan ángulo conocido y lado conocido, respectivamente. Los tres casos que mencionamos arriba se denotarán AAA (se conocen tres ángulos), ALA (dos ángulos y el lado entre ellos) y AAL o LAA (dos ángulos y un lado no entre ellos). Las ocho posibilidades que mencionamos pueden agruparse de la siguiente manera: 1. El caso AAA: Este es el más fácil en el sentido de que no hay nada que...
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 1, No 2. Agosto − Diciembre 2001.
Resolver triángulos en Visual Basic. Parte 1/3
Luis Acuña P.
lacuna@itcr.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica
Introducción
Uno de los últimos temas de trigonometría que se estudian en secundaria es la resolución de triángulosusando las leyes de senos y cosenos. En un triángulo cualquiera, las medidas más importantes son las longitudes de sus lados y las medidas de sus ángulos. En su forma más general, el problema de resolver un triángulo consiste en determinar las tres medidas desconocidas cuando se conocen tres. En la notación usual, las letras a, b y c denotan los lados, y las mayúsculas A, B y C denotan losrespectivos ángulos opuestos: A e e e c e eb e e e e a B C No todos los casos tienen solución. Por ejemplo, conocer las medidas de los tres ángulos no da ninguna pista acerca de las longitudes de los lados. Pero por el contrario, conocer los tres lados permite encontrar los ángulos sin problema. Vamos a desarrollar un programa en Visual Basic que permita al usuario indicar tres datoscualesquiera, determine si es posible calcular las otras tres medidas, y muestre gráficamente la o las soluciones (dibujando un triángulo con los ángulos correctos y los lados en proporción a sus medidas). En esta columna vamos a abordar parte del problema matemático. En la siguiente terminaremos con ese problema y desarrollaremos la interfaz con el usuario, pero por ahora hay varios detalles deprogramación que resolver.
1.1
Las leyes de senos y de cosenos
La clave para resolver el problema de determinar las tres medidas faltantes en un triángulo está en usar apropiadamente las siguientes fórmulas trigonométricas (todas en la notación usual que describimos arriba). La ley de senos: En palabras, dice que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La fórmula es b ca = = . sen A sen B senC
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Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 1, No 2. Agosto − Diciembre 2001.
La ley de cosenos: Es una extensión del Teorema de Pitágoras a triángulos no rectángulos. Puede verse en tres formas distintas pero equivalentes: a2 b2 c2 = b2 + c2 − 2bc cos A = a2 + c2 − 2ac cos B = a2 + b2 − 2ab cosC.
En ninguna delas fórmulas está despejado un ángulo. Si se quiere encontrar el valor de un ángulo deberá despejarse de la fórmula apropiada (dependiendo de los datos que se conocen) y aplicar seno inverso o coseno inverso. La función coseno tiene inversa en el dominio que nos interesa para triángulos, que es [0, π] = [0◦ , 180◦ ]. Pero la función seno no tiene inversa allí, sino en el dominio [−π/2, π/2] = [−90◦, 90◦ ]. Por lo anterior, la ley de senos no es recomendable para encontrar ángulos obtusos. En un triángulo, solamente el ángulo mayor podría ser obtuso. Entonces se recomienda que, de ser posible, no se use la ley de senos para encontrar el ángulo mayor. Los casos en los que esto es inevitable comúnmente llevan a dos soluciones: un ángulo obtuso y otro agudo.
1.2
Los distintos casos porresolver
Si los triángulos tienen seis medidas (tres ángulos y tres lados), son muchas las combinaciones de tres datos conocidos: pueden conocerse los tres ángulos, o dos de los ángulos y el lado entre ellos, o dos de los ángulos y un lado no entre ellos, etc. En total son ocho posibilidades, que por simetría se reducen a seis. Vamos a denotarlas con un código de tres letras, en el que lasletras A y L denotan ángulo conocido y lado conocido, respectivamente. Los tres casos que mencionamos arriba se denotarán AAA (se conocen tres ángulos), ALA (dos ángulos y el lado entre ellos) y AAL o LAA (dos ángulos y un lado no entre ellos). Las ocho posibilidades que mencionamos pueden agruparse de la siguiente manera: 1. El caso AAA: Este es el más fácil en el sentido de que no hay nada que...
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