Resolviendo Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Con Maple y Mathematica

˜ ENSENANZA

REVISTA MEXICANA DE F´ ISICA 53 (2) 155–167

DICIEMBRE 2007

Resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias con Maple y Mathematica
G.M. Ortigoza Capetillo Facultad de Matem´ ticas, Universidad Veracruzana, a e-mail: gortigoza@uv.mx
Recibido el 13 de septiembre de 2006; aceptado el 23 de agosto de 2007 ´ En este trabajo se presentan soluciones de ecuaciones diferencialesordinarias (EDOS) mediante el uso de dos paquetes simbolicos: Maple y Mathematica. Los comandos b´ sicos de soluci´ n de ambos paquetes son explicados mediante una serie de ejemplos representativos de a o un curso tradicional. Entre los ejemplos seleccionados se incluyen ecuaciones diferenciales que se resuelven con m´ todos como: variables e separables, ecuaciones lineales, coeficientesindeterminados, variaci´ n de par´ metros, etc; as´ como aquellas que se resuelven usando series o a ı de potencias y transformada de Laplace. Estos paquetes permiten tambi´ n la soluci´ n de sistemas lineales, as´ como la visualizaci´ n del e o ı o campo de direcciones. El objetivo de este trabajo es brindar al lector una gu´a pr´ ctica que le permita iniciar el estudios de las ecuacioı a nes diferencialesmediante el uso de Maple y Mathematica y de esta manera beneficiarse del uso de estas herramientas computacionales; as´ c´ mo mostrar como el uso del c´ mputo simb´ lico, al ahorrar el esfuerzo del c´ mputo algebraico complejo, permite enfocar la atenci´ n ı o o o o o en ideas y conceptos importantes como: an´ lisis cualitativo de las soluciones, comportamiento asint´ tico y relaciones del modelof´sico con a o ı la contraparte matem´ tica de la ecuaci´ n que lo describe. a o Descriptores: Ense˜ anza; herramientas computacionales; ecuaciones diferenciales ordinarias. n In this work we present solutions of ordinary differential equations by using Maple and Mathematica. The basic commands in both packages are presented throught a series of examples that show some of the advantages of usingcomputer algebra and graphical representation in the process of teaching and learning odes. Keywords: Physics Education; ordinary differential equations; Maple; Mathematica. PACS: 01.40Fk; 02.30Hq; 01.50.Ht

1. Introducci´ n o
´ En los ultimos a˜ os se ha venido manifestando un inter´ s n e por incorporar herramientas computacionales (calculadoras ´ gr´ ficas o paquetes de algebra computacional [2,5, 14, 23]) a a las labores de docencia e investigaci´ n. As´ han aparecio ı ´ do algunas obras que estudian la f´sica, el algebra lineal, el ı c´ lculo y las ecuaciones diferenciales con el apoyo de los paa quetes Matlab, Maple y Mathematica [1, 27]. M´ s a´ n, en lo a u particular, se han venido realizando algunos estudios para estimar los beneficios y desventajas del uso de los paquetes dealgebra computacional en los procesos de ense˜ anza y aprenn dizaje de las ecuaciones diferenciales [3, 17, 21]. En este trabajo se presenta el uso de Maple y Mathematica para la soluci´ n de ecuaciones diferenciales ordinarias. o Estos paquetes son una herramienta did´ ctica valiosa, ya que a adem´ s de proveer de visualizaciones y c´ mputo simb´ lico a o o cuentan con funciones espec´ficas para lasoluci´ n de ecuaı o ciones diferenciales ordinarias. El objetivo de este trabajo es brindar al lector una introducci´ n pr´ ctica a los comandos o a b´ sicos en Maple y Mathematica para el estudio de ecuacioa nes diferenciales ordinarias y mostrar, mediante una serie de ejemplos, algunas de las ventajas de la aplicaci´ n de estos o paquetes a la ense˜ anza de las ecuaciones diferenciales ordinnarias, as´ como las conexiones f´sicas de algunos modelos y ı ı la contraparte matem´ tica de sus ecuaciones [9, 10]. a El trabajo est´ organizado de la siguiente manera: en la a Sec. 2 se presenta la sintaxis de los comandos b´ sicos para a resolver EDOS en Maple y Mathematica; la Sec. 3 muestra mediante una serie de ejemplos el uso de estos comandos pa-

ra resolver EDOS, as´ mismo se presentan...