Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Lineales por Medio de Gráficas

Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Lineales por Medio de Gráficas
 
Objetivos de Aprendizaje
         Describir la creación y el uso de sistemas de ecuaciones.
         Graficar un sistema de ecuaciones lineales en el eje de coordenadas e identificar su solución.
 
Introducción
 
A veces, graficar una sola ecuación lineal es todo lo que se necesita para resolver un problema matemático. Otrasveces, una sola línea simplemente no nos sirve, y se necesita una segunda ecuación para modelar la situación. Este es normalmente el caso cuando un problema tiene dos variables. Resolver este tipo de problemas requiere trabajar con un sistema de ecuaciones, el cual es un conjunto de dos o más ecuaciones que contienen las mismas incógnitas.
 
Estudiemos los sistemas de ecuaciones, para ver qué nosrevelan las gráficas de ecuaciones individuales sobre la relación matemática entre las variables.
 
Sistemas de Ecuaciones
 
Un sistema de ecuaciones contiene dos o más ecuaciones lineales que comparten dos o más incógnitas. Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones, debemos encontrar un valor (o rango de valores) que satisfagan todas las ecuaciones en el sistema.
 
Las gráficas deecuaciones del sistema nos pueden decir cuántas soluciones existen en ese sistema. Ve las imágenes abajo. Cada una muestra dos rectas que conforman un sistema de ecuaciones (en la gráfica de la derecha las dos rectas se enciman y parecen una sola línea). ¿Cuántos puntos en común revelan cada uno de los sistemas?
 
Una Solución
Sin Solución
Soluciones Infinitas



Si las gráficas de las ecuaciones seintersectan, entonces existe sólo una solución para las ecuaciones.
 
S las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existe ninguna solución para las ecuaciones.
S las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para las ecuaciones.
 
Recuerda, la gráfica de una recta representa cada punto que es unaposible solución para la ecuación de dicha recta. Por lo que cuando las gráficas de dos ecuaciones se cruzan, el punto de intersección es común en ambas rectas, lo que significa que es una posible solución para ambas ecuaciones. Cuando las gráficas de dos ecuaciones nunca se tocan, no hay puntos comunes y no hay soluciones posibles para el sistema. Cuando las gráficas de dos ecuaciones quedan unaencima de la otra, comparten todos sus puntos y cada uno de ellos es una posible solución.
 
Gráficas como Método de Solución
 
Graficar ecuaciones para identificar y especificar un punto específico de intersección generalmente no es una forma precisa de resolver sistemas porque podría ser difícil encontrar exactamente el punto donde las rectas se intersectan (a menos que estés usando un programa decomputadora que te permita ampliar el punto). Sin embargo, la gráfica de un sistema de ecuaciones puede darnos una idea de qué tipo de solución buscamos. Grafiquemos un sistema, y veamos cómo funciona.
 
Graficar el sistema y = 3x y x + 2y = 4. ¿Cuántas soluciones tiene este sistema?
 
 

 
 
Una gráfica de las dos rectas y = 3x y x + 2y = 4 nos muestra que las rectas se intersectan, lo quesignifica que existe un único punto (x, y) que satisface ambas ecuaciones. Observa que la gráfica no nos dice exactamente dónde está dicho valor, pero no necesitamos saber esa información, porque sólo nos han preguntado por el número de soluciones.
 
Entonces un sistema hecho por dos rectas que se intersectan tiene una solución. Ahora veamos una situación distinta:
 
¿Cuántas soluciones existen para elsistema y -0.5x = 7 y 2y = x − 3?
 
 

 
 
Graficamos ambas ecuaciones y observamos que no hay solución — las rectas son paralelas. Para confirmar nuestro resultado, podemos comparar las pendientes de las ecuaciones. Para hacerlo más fácil, convertimos las ecuaciones a su forma pendiente-intersección o y = mx + b. Lo que nos da las ecuaciones y = 0.5x + 7 y y = 0.5x − 1.5. Sí, la pendiente de...