Respuesta de un Sistema LTI a una entrada estocástica

Proyecto Final

Respuesta de un Sistema LTI a
una entrada estocástica
Señales y sistemas 2

Autor: Alexis Cedeño

Sistemas y Señales II
Introducción

Se puede caracterizar un gran número de procesos físicos, con gran exactitud, como
Sistemas Lineales Invariantes con el Tiempo (LIT). El principio de superposición´ y la
propiedad de invariancia temporal permiten aplicar potentesherramientas matemáticas
para su análisis y comprensión.
Si bien es un término de muy amplio alcance, en el contexto que nos atañe
consideramos como señal a toda variación de una cantidad física (por lo general
con el tiempo) susceptible de ser representada matemáticamente y de la cual
podemos obtener alguna información o realizar algún cambio.
Con esta práctica se pretende profundizar en laspropiedades de los sistemas LIT.
Así, partiendo de la caracterización de los sistemas LIT por su respuesta impulsional se
va a introducir la convolución como una herramienta matemática que permite conocer
la respuesta del sistema a una entrada arbitraria. Finalmente se procederá a analizar
distintas propiedades del sistema LIT a partir de su respuesta impulsiones.

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David 19 de Agosto del2013

Sistemas y Señales II
Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)
Según su naturaleza podemos clasificar a las señales en dos grupos, a saber: las que
pueden definirse en cada instante de un determinado intervalo, llamadas señales de
tiempo continuo, y aquéllas que pueden representarse como una sucesión de de
valores ordenados mediante un índice entero, llamadas señales de tiempodiscreto. (El
uso de la palabra "Tiempo" establecida por el uso alude a que la mayoría de las
señales procesadas dependen del tiempo, sin ser éste el caso general).
Con esto, definiremos como sistema a cualquier ente físico o proceso capaz de recibir
una señal, denominada de entrada, o excitación (x (t)), y transformarla en otra señal
que denominaremos de salida o respuesta. ( y(t) )
Según lanaturaleza de las señales que los sistemas procesan, usualmente se los
clasifica también como "de tiempo continuo" o "de tiempo discreto".
Como puede apreciarse, las definiciones previas son de carácter muy general. Esto
pone en evidencia una de las grandes ventajas de la teoría de señales y sistemas, esto
es: puede aplicarse al estudio de una gran cantidad de problemas reales de muy
diversanaturaleza física.
En este trabajo centraremos nuestra atención en un tipo particular de sistemas,
denominados “Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo” o “SLTI”,
Nota: Si bien este trabajo está desarrollado en tiempo continuo, pueden hallarse
relaciones totalmente análogas para los sistemas de tiempo discretoLinealidad

Se dice que un sistema es lineal si cumple con el llamadoprincipio de superposición, el
cual a su vez se compone de dos partes:
1. Homogeneidad:
2. Aditividad:

si x (t )  y (t )  kx (t )  ky (t )

(1)

si x 1(t )  y1(t )  x 2(t )  y 2(t )  x 1(t )  x 2(t )  y1(t )  y 2(t )

(2)

Combinando la (1) y la (2): k1 x1 (t )  k 2 x2 (t )  k1 y1 (t )  k 2 y2 (t ) (superposición)
Evidentemente, esto se cumplirá si el sistema, para obtener lasalida, efectúa sobre la
señal de entrada operaciones que son matemáticamente lineales, como ser: suma,

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David 19 de Agosto del 2013

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multiplicación por una constante, diferenciación e integración.
A partir de esto es importante entender por qué las ecuaciones íntegro-diferenciales
lineales son la herramienta apropiada para modelar matemáticamente la relaciónentrada-salida de este tipo de sistemas, ya que en ellas, en su forma general,
intervienen todas las operaciones antedichas.

Invariabilidad Temporal

Decimos que un sistema es invariante en el tiempo, si la respuesta del mismo no
depende del momento en que es excitado, formalmente:

si x (t )  y (t )  x (t  t 0 )  y (t  t 0 )
Esta es una propiedad importante del sistema, puesto que...