Respuesta de un sistema general de segundo orden ante una entrada tipo coseno

Instituto
Tecnológico de
Morelia
Sistemas lineales

“Respuesta de un sistema
general de segundo orden
ante una entrada tipo
coseno”

Tomás Álvarez Cortés

30 de septiembre del 2013

Introducción

En este trabajo se pretende plantear la respuesta de un sistema de segundo orden ante una
entrada tipo coseno con diferentes factores de amortiguamiento, si bien lleva un ampliodesarrollo matemático también se incluirán algunas simulaciones en MATLAB.
Un sistema se puede representar mediante una función de transferencia, es decir, la
relación que tiene la salida con respecto de la entrada. Teniendo un sistema basado en la
ecuación o la forma estándar será aplicada una señal de entrada oscilante, se variará el
parámetro del factor de amortiguamiento y analizará la salida.Las funciones de transferencia serán en el dominio de la frecuencia, pero para poderlo
analizar se tiene que regresar al dominio del tiempo mediante la transformada inversa de
Laplace.

2

Desarrollo
La ecuación de un sistema de segundo orden está dada de la siguiente forma:
Kω2
n
C s = 2
s + 2ξωn s + ω2
n

(1)

Siendo el denominador un trinomio cuadrado perfecto las raíces estándadas por:
s12

−2ξωn ± 4ξ2 ω2 − 4ω2
n
n
=
2

(2)

De la ecuación 2, el radical se puede agrupar tanto el 4 como el ω2, quedando de la
siguiente manera:
s12

−2ξωn ± 2ωn ξ2 − 1
=
2

(3)

Reduciendo la ecuación 3:
s12 = −ξωn ± ωn ξ2 − 1

(4)

En la ecuación 4 se puede apreciar que dependiendo del valor de ξ cambiará la solución
del radical o también conocido comodiscriminante; se analizará para distintas posibilidades de
ξ.
Cuando:
𝛏>1

(5)

s1 = −ξωn + ωn ξ2 − 1

(6)

s2 = −ξωn − ωn ξ2 − 1

(7)

Las raíces de la ecuación 4 son:

Reemplazando los polos de las ecuaciones 6 y7, en la ecuación 1 se obtiene la siguiente:
3

C s =

Kω2
n
s + ξωn − ωn ξ2 − 1 (s + ξωn + ωn ξ2 − 1)

(8)

Se pretende aplicar una entrada tipo coseno dada por lasiguiente ecuación:
r t = A0 cos⁡
(ψt)

(9)

Figura 1. Gráfico obtenido del programa 1 coseno.m descrito en el apéndice A.
La figura1 muestra dos ciclos de la función de la ecuación 9 con A0 y ψ iguales a 1, se
aprecia que la magnitud r(t) va desde –A0 hasta A0 y la ψ representa la frecuencia. Aplicando
transformada de laplace a la ecuación 9, se obtiene:
R s =

A0 s
s 2 + ψ2

( 10)

Para encontrar los polos de función 10 se emplea nuevamente la formula general:
s22

± −4ψ2
=
2

( 11 )
4

Resolviendo:
s22 =

± 2ψ −1
2

( 12 )

Que se puede escribir también como:
s22 = ±jψ

( 13 )

De acuerdo con lo obtenido en la ecuación 13, la ecuación 10 se puede reescribir como:
R s =

A0 s
s − jψ s + jψ

( 14 )

Empleando la función 10 en el sistemadescrito en la ecuación 1, se obtiene lo siguiente:
G s =

C s
𝑅(𝑠)

Kω2
A0 s
n
G s = 2
∗ 2
s + 2ξωn s + ω2
s + ψ2
n

( 15 )

( 16 )

Reacomodando la ecuación 16:
𝐆 𝐬 =

𝐊𝐀 𝟎 𝛚 𝟐 𝐬
𝐧
𝟐 + 𝛙 𝟐 ( 𝐬 𝟐 + 𝟐𝛏𝛚 𝐬 + 𝛚 𝟐 )
𝐬
𝐧
𝐧

( 17 )

La ecuación 17 describe la forma general del sistema de segundo orden aplicándole una
entrada tipo coseno. En las ecuaciones 14 y 8, ya sehabían obtenido los polos para este caso
(ξ > 1), por lo tanto la ecuación 17 se puede reescribir como:
G s =

KA0 ω2 s
n
s − jψ s + jψ s + ξωn − ωn ξ2 − 1 s + ξωn + ωn ξ2 − 1

( 18 )

Aplicando expansión en fracciones parciales se tiene;
𝐺 𝑠 =

𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
+
+
+
𝑠 − 𝑗𝜓 𝑠 + 𝑗𝜓 s + ξωn − ωn ξ2 − 1 s + ξωn + ωn ξ2 − 1

( 19 )

Calculando el coeficiente A de la ecuación 19:
5

A= s − jψ ∗ G s

( 20 )

𝑠=𝑗 ψ

KA0 ω2 jψ
n
A=
2jψ jψ 2 + 2ξωn (jψ) + ω2
n

( 21 )

Nótese que en la ecuación 21 fueron combinados los denominadores por los de la
ecuación 17, esto con el fin de facilitar algunos cálculos. Por último el coeficiente A queda
como:
KA0 ω2
n
A=
2 + 2jψξω + ω2
2 −ψ
n
n

( 22 )

Ahora para el coeficiente B el cual es similar al A, se tiene:...