Respuesta en el Tiempo
Páginas: 6 (1311 palabras)
Publicado: 1 de julio de 2014
Experiencia 5
Análisis en el Dominio del Tiempo
4.1. Objetivos.-
Analizar sistemas de primer y segundo orden.
Hallar la respuesta de sistemas ante entradas típicas.
Conocer como el sistema se comporta en estado estable.
4.2. Marco Teórico.-
Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función escalónunitario es 1/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:
Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos:
,
La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t=T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzo 63.2% desu cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t=T en c(t). Es decir,
Observe que, conforme mas pequeña es la constante de tiempo T, mas rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t=0 es 1/T, dado que,
La respuesta alcanzaría el valor final en t=T si mantuviera suvelocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotonica de 1/T en t=0,
La curva de respuesta exponencial c(t) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el 86.5% delvalor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t = 4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente solo después de un tiempo infinito. Sin embargo en la práctica, una estimación razonable es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la líneade 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.-
La función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:
El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación en términos de dos parámetros y .
El valor de toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s.
El semiplano izquierdo delplano s corresponde a un amortiguamiento positivo , esto causa que la respuesta escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo . Por lo tanto el sistema es estable.
El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo . El amortiguamiento negativo da una respuesta que crece en magnitud sin límite de tiempo, por lo tantoel sistema es inestable.
El eje imaginario corresponde a un amortiguamiento de cero . Este resulta en una amortiguación sostenida, y el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable.
Si , los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria esoscilatoria.
Si , el sistema se denomina críticamente amortiguado.
Los sistemas sobreamortiguados corresponden a .
La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si , la respuesta transitoria no se amortigua.
Ahora se obtendrá la respuesta transitoria para tres casos diferentes a una entrada escalón unitaria.
a). Caso subamortiguado : en estecaso, se escribe como
En donde , es la frecuencia natural amortiguada.
Los polos del sistema se encuentran en:
b). Caso críticamente amortiguado : si los dos polos son casi iguales, el sistema reaproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:
c). Caso sobreamortiguado : en este caso, los dos polos son reales, negativos y diferentes....
Experiencia 5
Análisis en el Dominio del Tiempo
4.1. Objetivos.-
Analizar sistemas de primer y segundo orden.
Hallar la respuesta de sistemas ante entradas típicas.
Conocer como el sistema se comporta en estado estable.
4.2. Marco Teórico.-
Respuesta escalón unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función escalónunitario es 1/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:
Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuación obtenemos:
,
La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una característica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t=T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzo 63.2% desu cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t=T en c(t). Es decir,
Observe que, conforme mas pequeña es la constante de tiempo T, mas rápida es la respuesta del sistema. Otra característica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la línea de tangente en t=0 es 1/T, dado que,
La respuesta alcanzaría el valor final en t=T si mantuviera suvelocidad de respuesta inicial. A partir de la ecuación anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotonica de 1/T en t=0,
La curva de respuesta exponencial c(t) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el 86.5% delvalor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t = 4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemáticamente solo después de un tiempo infinito. Sin embargo en la práctica, una estimación razonable es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la líneade 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.-
La función de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:
El comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe a continuación en términos de dos parámetros y .
El valor de toma diferentes valores dependiendo de su ubicación en el plano s.
El semiplano izquierdo delplano s corresponde a un amortiguamiento positivo , esto causa que la respuesta escalón unitario establezca un valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo . Por lo tanto el sistema es estable.
El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo . El amortiguamiento negativo da una respuesta que crece en magnitud sin límite de tiempo, por lo tantoel sistema es inestable.
El eje imaginario corresponde a un amortiguamiento de cero . Este resulta en una amortiguación sostenida, y el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable.
Si , los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria esoscilatoria.
Si , el sistema se denomina críticamente amortiguado.
Los sistemas sobreamortiguados corresponden a .
La respuesta transitoria de los sistemas críticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si , la respuesta transitoria no se amortigua.
Ahora se obtendrá la respuesta transitoria para tres casos diferentes a una entrada escalón unitaria.
a). Caso subamortiguado : en estecaso, se escribe como
En donde , es la frecuencia natural amortiguada.
Los polos del sistema se encuentran en:
b). Caso críticamente amortiguado : si los dos polos son casi iguales, el sistema reaproxima mediante uno críticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:
c). Caso sobreamortiguado : en este caso, los dos polos son reales, negativos y diferentes....
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