Respuesta Frecuencial

4. Análisis frecuencial de sistemas de control

233

4. Análisis frecuencial de sistemas de control
En el presente capítulo se describirá la metodología de análisis basada en la respuesta frecuencial de un sistema de control. Dicha metodología requiere el conocimiento de la respuesta frecuencial del sistema en lazo abierto (que puede obtenerse de un modo sencillo a partir de medidas de larespuesta en régimen permanente senoidal) para, posteriormente, aplicar el criterio de estabilidad de Nyquist, que permitirá determinar la estabilidad absoluta del sistema en lazo cerrado. Los márgenes de fase y ganancia pueden considerarse extensiones del criterio de estabilidad de Nyquist y permiten determinar la estabilidad relativa de un sistema de control. Por último, en este tema se expondránaquellas características a tener en cuenta para desarrollar el análisis de un sistema de control en tiempo discreto a partir de su respuesta frecuencial.

4.1 Respuesta frecuencial de sistemas de tiempo continuo
Dado el sistema de tiempo continuo de la figura 4.1:

E(s)

G(s)

C(s)

Fig. 4.1 Sistema de tiempo continuo

donde: E( s) = L[ sen(ωt )] =

(s

ω
2

+ω

2

)

=( s − jω) ⋅ ( s + jω)

ω

En el sistema definido, se obtiene el régimen permanente senoidal (RPS) considerando la respuesta del sistema estable cuando el tiempo tiende a infinito y se posee una señal de entrada senoidal. C( s) =

( s + jω) ⋅ ( s − jω)

G ( s) ⋅ ω

(4.1)

Para obtener la antitransformada de Laplace debe desarrollarse C(s) en fracciones parciales. C( s) =

( s + jω)( s − jω)

k1

+

k2

+ Cg ( s)

(4.2)

© los autores, 1998; © Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución deejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, así como la exportación e importación de ejemplares para su distribución y venta fuera del ámbito de la Unión Europea.

234

Teoría de control. Diseño electrónico

Los dos primeros términos del desarrollo son originados por las raíces de la transformada de Laplace de la señal senoidal de entrada, mientras que Cg(s) contiene la serie detérminos correspondientes al desarrollo en fracciones parciales de los polos de G(s). El RPS únicamente existe en sistemas estables, dado que ello implica que los términos temporales que caracterizan la respuesta transitoria del sistema desaparecen cuando el tiempo crece suficientemente: L
−1

[Cg(s)] = cg( t ) → 0 cuando t → ∞ .

Denominando Css(s) a la transformada de Laplace de la señalque perdura cuando el tiempo crezca infinitamente (estado estacionario): Css( s) = Cálculo de los residuos: k 1 = C( s) ⋅ ( s + jω) =− G( − jω) 2j ; k2 = G ( jω) 2j (4.4)

( s + jω) ( s − jω)

k1

+

k2

(4.3)

s=− jω

Debe observarse que: G( jω) = G ( s) s= jω es la respuesta frecuencial del sistema de tiempo continuo, esto es, debe evaluarse la función de transferencia en un puntodel plano S ubicado sobre el eje imaginario. A partir de la descripción del procedimiento de cálculo puede indicarse que G( jω) es una función de variable compleja, y verifica: G( jω) = G( jω) ⋅ e
j∠ G ( jω) j∠ G ( − jω)

(4.5) = G( jω) ⋅ e
− j∠ G ( jω)

G( − jω) = G( − jω) ⋅ e

(4.6)

Realizando la antitransformada de la ecuación de Css(s), se obtiene: Css( t ) = k1 ⋅ e

(

− jωt

)+ k 2 ⋅ ( e jωt )
  G( jω) ⋅ sen ωt + ∠G ( jω) = 

(4.7)

Sustituyendo las expresiones de los residuos k1 y k2:  j( ωt +∠G ( jω) ) − j( ωt +∠G ( jω) ) −e e Css( t ) = G( jω) ⋅  2j 

(

)

(4.8)

En conclusión, la respuesta de un sistema de tiempo continuo en RPS es una señal senoidal con igual frecuencia que la señal de entrada, con una amplitud igual al producto de la...