Respuesta Natural De Un Circuito

José de Jesús Cepeda Lara

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN
–RESPUESTA NATURAL

En un circuito con dos elementos irreductibles de almacenamiento de energía puede representarse por una ecuación diferencial de segundo orden de la forma

[pic]

donde se conocen las constantes [pic], [pic], [pic]y se especifica la función forzada [pic].
La respuesta completa [pic] estádada por

[pic] ………………………………………………………………………(10.22)

Donde [pic] es la respuesta natural y [pic] la forzada. La respuesta natural satisface la ecuación diferencial no forzada cuando [pic]. La respuesta forzada [pic] satisface la ecuación diferencial con la función forzante presente.

La respuesta natural, de un circuito [pic], logrará satisfacer la ecuación

[pic]…………………………………………………………….. (10-23)

Como [pic] y sus derivadas deben satisfacer la ecuación, se postula la solución exponencial

[pic]………………………………………………………………………………...(10-24)

Donde se deben determinar A y s. la exponencial es la única función que es proporcional a sus derivadas e integrales y, por tanto, es la elección natural para la solución de una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Sustituyendo la ecuación 10-24 en la 10-23 yderivando donde haga falta se obtiene

[pic] ……………………………………………………….(10-25)

Puesto que [pic], la ecuación 10-25 puede reescribirse como sigue:
[pic]
O bien

[pic]………………………………………………………………….(10-26)
Como no se acepta la solución trivial [pic], es necesario que

[pic]

Esta ecuación, en términos de s, se llama ecuación característica. Se obtiene fácilmente reemplazando la derivada por s y lasegunda derivada por [pic]. Obviamente, se ha regresado al operador ya conocido
[pic]

La ecuación característica se obtiene de la ecuación diferencial dominante de un circuito, asignando a todas las fuentes independientes el valor de cero y suponiendo una solución exponencial.

Oliver Heaviside anticipó la teoría de los operadores para la solución de ecuaciones diferenciales.
La solución de laecuación cuadrática (10-26) tiene dos raíces, [pic] y [pic], donde

[pic] ……………………………………………………………….(10-27)

[pic] ……………………………………………………………….(10-28)

Cuando hay dos raíces distintas, existen dos soluciones tales que

[pic] …………………………………………………………………….(10-29)

Aunque en efecto hay dos soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden, su suma es también una solución, puesto que laecuación es lineal. Además, la solución general debe de constar de tantos términos de acuerdo al orden de la ecuación, cada uno con un coeficiente arbitrario, para satisfacer el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales. Se supondrá el análisis del caso especial cuando [pic]=[pic].

Las raíces de la ecuación característica contienen toda la información necesaria para determinar larespuesta natural.
Ejemplo.
Hallar la respuesta natural de la corriente [pic] en el circuito mostrado en la figura 10-8. Usar operadores para formular la ecuación diferencial y obtener la respuesta en términos de constantes arbitrarias.

Figura 10-8

Solución. Planteando las dos ecuaciones de malla, se tiene

[pic]
Y

[pic]

Usando el operador [pic], se obtiene

[pic]…………………………………………………………………. (10-30)

[pic] …………………………………………………………………… (10-31)

Usando la regla de Cramer para despejar [pic] se tiene

[pic]
[pic]

Por lo tanto,

[pic]

Nótese que [pic]es la ecuación característica y puede determinarse directamente evaluando el determinante de la ecuación (10-30) y (10-31) entonces, las raices de la ecuación característica son [pic]y [pic]. Por lo tanto, la respuesta natural el

[pic]

[pic]

Donde [pic]. Lasraíces [pic]y [pic] son las raíces características y suelen llamarse frecuencias naturales. Los recíprocos de las magnitudes de las raíces características son las constantes de tiempo. En este circuito, las constantes de tiempo son ½ y 1/8 segundo.

RESPUESTA NATURAL DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO NO FORZADO...