Respuesta a funciones de forzamiento

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental de la Fuerza Armada Bolivariana
UNEFAB
Extensión Puerto Píritu

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Respuesta a funciones de Forzamiento

Profesor: Bachilleres:
Juan Gómez

Puerto Píritu, 16 de Febrero de 2011

Respuesta delproceso de primer orden a diferentes tipos de funciones de forzamiento

Ya se vio que la función de transferencia de un proceso de primer orden sin tiempo muerto es de la forma:

G(s)= Y(s)= K .
X(s) Ts+1

Donde:
Y(s) = transformada de la variable de salida
X(s) = transformada de la función de forzamiento o variable deentrada

En esta sección se estudiará la respuesta de este tipo de proceso a diferentes tipos de funciones de forzamiento, que son las más comunes en el estudio del control automático de proceso.

← Función escalón
Respuesta dinámica de un sistema puramente capacitivo consiste en determinar como cambia y(t) con f(t). Es decir, un cambio escalón produce un incremento permanente en eltiempo (hasta infinito). Recibe, por eso, el nombre de "integrador puro". Se observa que un sistema capacitivo o integrador puro produciría serios problemas de comportamiento dinámico, comportándose como un sistema no autorregulado, que requiere un controlador. (Estanque con bomba de desplazamiento positivo en la salida).

Un cambio en escalón de A unidades de magnitud en la función de forzamientose expresa en el dominio del tiempo como:

X(t)=Au(t)

Y en el dominio de Laplace como:

X(s)= A
S
Entonces:

Y(s) = K A
s(Ts+1)

Aquí utilizan los métodos expuestos anteriormente para regresar de nuevo esta función al dominio del tiempo:

Y(t)= K A (1 – e-t/T)

En la siguiente figura se ilustragráficamente la función de forzamiento y la variable de respuesta; es notorio que la mayor pendiente de la curva de respuesta se presenta en el comienzo de la respuesta, que es la respuesta típica de todos los procesos de primer orden a un cambio escalón en la función de forzamiento:

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← Función rampa
En el dominio del tiempo, la función rampa se representa como:

X(t)=Atu(t)

Y en el dominio de Laplace, como:

X(s)= A
s2

Entonces:

Ys = K A
S2(ts+1)

Una vez más se utilizan los métodos del capítulo anterior, para poner de nuevo esta función en el dominio del tiempo:

Y(t)= KA t + Te-t/T – T)

En la figura siguiente se ilustran gráficamente la función de forzamiento y la variable de respuesta; conforme se incrementa eltiempo, los transitorios desaparecen, e-t/T se vuelve despreciable y la respuesta se convierte también en una rampa, esto es:

T(t)|t->x= K A (t – T)

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← Función senoidal
Supóngase que la función de forzamiento del proceso es una función seno, tal que:

X(r)= A sen wt u(t)

Esto en el dominio de Laplace, es:

X(s) = Aw
S2 + w2

Entonces:

Y(s)= KAw
(Ts+1)(s2+w2)

Al regresar esta función al dominio del tiempo, se obtiene:

Y(t) =K A wt e-t/T + K A Sen(wt+ ()
T2w2+1 (T2W2+1)1/2

Donde:
(= Tan-1(-Wt)

El ángulo ( se conoce como el ángulo de fase. Conforme se incrementa el tiempo, el término e-t/T se vuelve despreciable y la respuestaalcanza una oscilación estacionaria que se expresa con:

Y(t)|t->x= K A Sen (Wt + ()
(T2W2+1)1/2

Esta oscilación estacionaria se conoce como frecuencia de respuesta del sistema. Es interesante notar que la amplitud de esta función es igual a la amplitud de la función de forzamiento, multiplicada por la ganancia del proceso,...