Resueltos B4 T6

Bloque 4. Cálculo

Tema 6 Integración básica
Ejercicios resueltos
4.6-1 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando la propiedad de
linealidad y la tabla de integrales inmediatas:
2
a )   x  2  dx

b)
c)
d)
e)

1

x


4

dx

x2  x  5
dx
x

  3e  senx  dx
 x dx
x

3

2

f)

 5x

g)



Solución
a)

3
dx
5

2

4
dx
9  9 x2

  x  2

2





dx   x 2  4 x  4 dx  x 2 dx  4  xdx  4  dx 

x3
x2
x3
4
 4x C 
 2 x2  4 x  C
3
2
3
3
1
x
1 1
b )  4 dx   x 4 dx 
C  
C
x
3
3 x3
x2  x  5
5
1

c) 
dx    x  1   dx   xdx   dx  5  dx 
x
x
x



x2
 x  5 ln x  C
2
3e x  senx dx  3 e x dx   senxdx  3e x  cos x  C


d)





x5 3
3
3
3
 C  x5 3  C  3 x5  C  x 3 x2  C

53
5
5
5
3
3
1
3
f)  2
dx   2
dx arctagx  C
5x  5
5 x 1
5
4
4
1
4
1
2
g) 
dx  
dx 
dx  arcsenx  C
2
2

9  9x
9 1 x
9 1  x2
3

e)

G3w

3

x 2 dx   x 2 3dx 

Conocimientos básicos de Matemáticas.

Bloque 4. Cálculo. Tema 6. Integración básica

Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

4.6-2 Resuelve las siguientes integralesindefinidas utilizando algún cambio de
variable apropiado:
a )  x x  1dx
senx

b)



c)



d)

 e

e)

1 x

dx
cos x
x2
dx
x3  2
x

 3  e x dx
4

2x

4

dx

ln x
dx
x
e tagx
g) 
dx
cos2 x
f)



Solución
a)

x

 t  x 1
x  1dx  
    t  1 tdt   t tdt   tdt 
 dt  dx 
t5 2 t3 2
12
12
32
12
  t  t dt   t dt   t dt   t dt 

C 
52 32

2 52 2 32
2
2
52
32
t  t  C  x  1   x  1  C
5
3
5
3
 t  cos x 
1
senx
dt
dx  
   1 2 dt    t 1 2 dt 

t
cos x
t
 dt   senxdx 


b)




c)

d)



t1 2
 C  2t 1 2  C  2 t  C  2 cos x  C
12

 t  x 3  2  1 dt 1
x2
1
3
dx


    ln t  C  ln x  2  C
3
2
x 2
3
 dt  3 x dx  3 t 3





ex 3
 t  ex 3
t5
4
x
x
e  3 e dx  
   t dt   C 
x
5
5
 dt  e dx 



4

5

C

 t  x2 
2x
1
e) 
dx  
dt  arctagt  C  arctag x 2  C

4
2
1 x
1 t
 dt  2 xdx 

 

2
 t  ln x 
2
ln
x


ln x
t
  tdt   C 
C
f) 
dx  
 dt  1 dx  
x
2
2
x 

 t  tagx 
e tagx
  e t dt  e t  C  e tagx  C
g) 
dx  
 dt  1 dx  
cos2 x
cos2 x 


G3w

Conocimientos básicos de Matemáticas.

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MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos

2

4.6-3 Resuelve las siguientes integrales indefinidas utilizando el método de
integración por partes:
a )  ln xdx

 x ln xdx
c )  xe dx
d )  x e dx
e )  arcsenxdx
f )  e senxdx
g )  x senxdx
b)

x

2

x

x

2

Solución
dx 

u  ln x  du 
dx

a )  ln xdx 
 xln x   dx 
x   x ln x   x


x
 dv  dx  v  x 
 x ln x  x  C

dx 

 u  ln x  du  x  x 2
1
dx

ln x   x 2

b)  x ln xdx  
2
2
x
x  2

 dv  xdx  v 

2 

1
1 x2
x2
x2
x2
x2
ln x   xdx 
ln x 
ln x 

C 
C
2
2
2
2 2
2
4
c)

 xe

x

 du  dx 
 u x
 xe x   e x dx  xe x  e x  C
dx  
x
x 
 dv  e dx  v  e 

 u  x2
d )  x e dx  
x
 dv e dx
 u x

x
 dv  e dx
2

x

 du  2 xdx 
2 x
x
  x e  2 xe dx 
x
ve


 du  dx 
 x 2 e x  2  xe x   e x dx  
x 
 ve 

 x 2 e x  2 xe x  2 e x dx  x 2 e x  2 xe x  2e x  C

G3w

Conocimientos básicos de Matemáticas.

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Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA- UniversidadZaragoza

Ejercicios resueltos 3

dx 

u  arcsenx  du 
x


e ) arcsenxdx  
dx 
1  x 2   xarcsenx  
1  x2
 dv  dx


vx


1 2
 t  1  x2 
2
 xarcsenx   x 1  x
dx  

 dt  2 xdx 
1
1 t1 2
 xarcsenx   t 1 2 dt  xarcsenx 
C 
2
21 2







 xarcsenx  1  x 2
 u  ex
f ) e senxdx  
 dv  senxdx
 u  ex

 dv  cos xdx
x



12

 C  xarcsenx...