resueltos estimacion

Ejercicios Resueltos de Estadística:
Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes

1. Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39≤ X ≤41) para n=10. ¿En qué intervalo se obtendrán el
95% de los resultados?

SOLUCIÓN:

Pr (39≤ X ≤41) = Pr (

Z=

X − 40
10

39 − 40
10

X − 40 41 − 40

≤

10

≤

10

) = Pr(-0.31623≤ X ≤0.31623)

→ N (0,1); Pr (39≤ X ≤41) = Pr (Z≤0.31623) - Pr (Z≤-0.31623) =

= 2 Pr(Z≤0.31623)
Y por tanto, Pr (39≤Z≤41) = 2 ∗ 0.6241 − 1 = .02482

Pr (µ-ε≤ X ≤ µ+ε)=0.95
Pr (µ-ε≤ X ≤ µ+ε)= 2 ∗ Pr( Z ≤

Pr (Z≤

ε
10

)=

ε
10

) −1

1 + 0.95
=0.975 → Z 0.975 → ε = 1.96 10 = 6.1981
2

Por tanto, el intervalo es: (33.802,46.198)

2. Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una distribución
N(7.5,0.3), calcular la probabilidad de que para una muestra de tamaño n=5, seobtenga
medio menor que 7, Pr ( X ≤ 7).

SOLUCIÓN:
A partir de una muestra de tamaño n=5 de una población normal N(µ=7.5,σ=0.3), tenemos que:





X − 7 .5 7 − 7 .5 
Pr( X ≤ 7) = Pr 
= Pr( Z ≤ −3.7269)
≤
 0 .3
0 .3 


5 
5


Donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto, Pr ( X ≤7) = 0.0001

3. Si la altura de un grupo de población sigue una distribución normal N(176,12),calcular
la Pr(S≤10) para una muestra de tamaño 8.

SOLUCIÓN:

Considerando una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal N(µ,σ), por el
teorema de Fisher tenemos que:

(n − 1)S 2
σ2

~ χ n2−1

En particular, para una muestra de tamaño n=8 de una población normal N(176,12), el
estadístico

7 2
S sigue una distribución χ 72 , y por tanto
144

(

)

 7 2 700 
Pr (S ≤ 10) = Pr S 2 ≤ 100 =Pr 
S ≤
 = Pr (T ≤ 4.8611)
144 
 144
Donde la variable T sigue una distribución χ 72 , es decir,

Pr (S ≤ 10 ) = 0.3232

4. Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo
sigue una distribución N( 71,7 ), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos
supere los 300Kg.

SOLUCIÓN:

Teniendo en cuenta que el peso de cada individuo tiene unadistribución normal N(µ = 71,σ =
7), si seleccionamos una muestra aleatoria de 4 individuos, tenemos que:


 4



 ∑ Xi


4
300 
X − 71 75 − 71 


Pr  ∑ X i > 300  = Pr  i =1
= Pr X > 75 = Pr 
>
=
>
 4
 7
7 
4 
 i =1





4
4 



= Pr (Z > 1.1429 ) = 1 − Pr (Z ≤ 1.1429 )

(

)

donde Z tiene una distribución normal estándar, y por tanto,

 4

Pr  ∑ X i > 300  = 1 −0.8735 = 0.1265
 i =1


5. Calcular la probabilidad de que la media µ se encuentre entre X ± 3S para poblaciones
normales y n = 5.

SOLUCIÓN:
A partir del teorema de Fisher, en el muestreo sobre poblaciones normales, tenemos que los

X y S2 son independientes, siendo la distribución del estadístico
X −µ
T = n∗
una tn-1(t de Student de n -1 grados de libertad). En particular, si consideramos
Sestadísticos

una muestra aleatoria de tamaño n = 5, la probabilidad de que la media esté entre X ± 3S viene
dada por:







µ−X
X −µ
Pr X − 3S < µ < X + 3S = Pr  − 3 <
< 3 5  = Pr − 3 5 < T < 3 5
< 3  = Pr  − 3 5 <


S
S




5



(

(

)

donde T tiene una distribución t4, y por tanto:

(

)

(

)

Pr X − 3S < µ < X + 3S = Pr − 3 5 < T < 3 5 = 2 Pr (T < 6.7082 ) − 1 = 2 ∗ 0.9987− 1 = 0.9974

6. Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para la probabilidad de p de que un
recién nacido sea niño si en una muestra de tamaño 123 se han obtenido 67 niños.

)

SOLUCIÓN:
Teniendo en cuenta que la proporción de varones recién nacidos puede modelizarse por una
variable Bernoulli de parámetro p (probabilidad de que un recién nacido sea varón), el intervalo
de confianzaal nivel α = 0.05 viene dado por:


 pˆ − z α

1−
2


pˆ (1 − pˆ )
, pˆ + z α
1−
n
2

Donde n = 123. pˆ =

pˆ (1 − pˆ ) 


n


67
y z α = z 0.975 = 1.96 , es decir,
1−
123
2

(0.544715 − 0.0880096,0.544715 + 0.0880096)
y por tanto, el intervalo (0.0456706,0.632725 ) contendrá a la proporción de varones nacidos
con una probabilidad del 95%.

7. Calcular un intervalo de confianza al...