Resultados sobre el Teorema de Sharkovskii

Bolet´ın de Matem´
aticas
Nueva Serie, Volumen XII No. 2 (2005), pp. 98–113

´
FUNCIONES CONTINUAS, ORBITAS
Y CAOS
EL TEOREMA DE SARKOVSKII
´
´ (∗)
JUAN E. NAPOLES
VALDES

Resumen. En este trabajo se presentan algunas precisiones hist´
oricas de
un t´
opico muy actual: El Caos, v´ıa el Teorema de Sarkovskii. Al final del
trabajo, se presentan algunas aplicaciones a la matem´
atica escolar.Palabras claves. Caos, Teorema de Sarkovskii.
2000 MSC. Primary: 76F20, Secondary: 39B72.
Abstract. In this work we present some historical precisions of a very
present topic: The Chaos, via the Theorem of Sarkovski. At the end of
the work, some applications to the scholar mathematical are displayed.
Key words and phrases. Chaos, Theorem of Sarkovskii.

“Y despu´es de leerlo lo he vuelto a doblarsim´etricamente.
No lo he tirado al suelo como acaba de hacer usted,
con una lamentable falta de orden y de m´etodo”
H´ercules Poirot a su amigo Hastings en “El Rey de Tr´
ebol”

1. Preliminares.
En el estudio de un fen´
omeno, cient´ıficamente hablando, ´este es observado,
sus detalles son minuciosamente descritos con el auxilio de las Matem´aticas y
se buscan ecuaciones que lo representen. Pasamosentonces, de lo real a un
modelo matem´
atico.
(∗) Juan E. N´
apoles Vald´
es. Universidad de la Cuenca del Plata. Lavalle 50, (3400)
Corrientes, Argentina. E-mail: idic@ucp.edu.ar

jnapoles@frre.utn.edu.ar

UTN-FRR, French 414, (3500) Resistencia, Chaco, Argentina.
98

´
FUNCIONES CONTINUAS, ORBITAS
Y CAOS EL TEOREMA DE SARKOVSKII

99

Este modelo, en el cual se expresa la evoluci´on del fen´omenoen el tiempo, es
un Sistema Din´
amico. Podemos decir tambi´en, que un Sistema Din´amico es un
sistema f´ısico que var´ıa con el tiempo. Se puede pensar en un sistema din´amico,
como una forma de describir la evoluci´
on temporal de todos los puntos de un
espacio E. Este espacio E puede ser, por ejemplo, el espacio de los estados de
un sistema f´ısico o biol´
ogico.
Una manera simple de crear unsistema din´amico en Matem´atica, consiste en
“permitir” que una funci´
on continua f : R −→ R , se retroalimente en el
tiempo, es decir, cuando la funci´on f es vista como la evoluci´on de los puntos
de R en una unidad de tiempo discreto. Podemos decirlo tambi´en, cuando
componemos la funci´
on consigo misma de manera iterada. Si denotamos por
f n (x) = f (f n−1 (x)) la n-´esima iterada, a lasucesi´on de sus iteradas, la llamaremos la ´
orbita de x, denotada por
O(x) = {x, f 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x), ...}.
Estudiar la din´
amica del sistema es, entre otras cosas, estudiar el comportamiento final -asint´
otico- de las ´
orbitas.
En particular puede suceder, que la ´
orbita del punto x = a sea peri´
odica,
o sea, que consista de los mismos puntos repetidos peri´odicamente; en otrost´erminos, existe k tal que f k (a) = a, para k ∈ N y f i (a) = a para todo 0 <
i < k. En este caso, diremos que a es un punto peri´odico con per´ıodo k y que
{a, f 1 (a), f 2 (a), ..., f n (a), ...} es su ´
orbita peri´odica. Diremos entonces que a
es un punto peri´
odico con per´ıodo k y ´
orbita {a, f 1 (a), f 2 (a), ..., f k−1 (a)}.
Una pregunta natural es si f tiene un punto con per´ıodo k, ¿ puedeesperarse
que f tenga otros puntos con per´ıodos m para k = m?, ¿Puede tenerse alguna
relaci´
on entre los per´ıodos, que implique su existencia?
Las respuestas a estas preguntas no son triviales, ya que si f tiene un punto
a con per´ıodo k > 1, entonces se puede garantizar que f tiene por lo menos
un punto fijo, es decir, un punto de per´ıodo 1. Ahora bien, para los dem´as
per´ıodos, ¿qu´epodemos concluir?
En 1975, fue publicado un art´ıculo de los matem´aticos norteamericanos TienYien Li y James A. Yorke (ver [8]) donde apareci´o la “primera” respuesta a
estas interrogantes y la respuesta involucraba un nuevo t´ermino matem´atico
el caos. En nuestro trabajo, consideraremos caos, en el sentido de sistema
ca´otico definido m´
as adelante1. Volviendo al trabajo de Li y Yorke, podemos...