Resumen_01 MATEMATICAS

Matem´
aticas
Tema 1: Sucesiones y series de n´
umeros reales

Lecci´on 1: Sucesiones y series de n´umeros reales
Philippe Bechouche
Departamento de Matem´
atica Aplicada
Universidad de Granada

1

Objetivos

2

Sucesiones aritm´eticas

3

Series aritm´eticas

4

Sucesiones geom´etricas

5

Series geom´etricas

6

Otras sucesiones y series

7

¿Que hemos aprendido?

phbe@ugr.es

Grado en Finanzasy Contabilidad
Curso 2015-2016
Philippe Bechouche

Lecci´
on 1: Sucesiones y series de n´
umeros reales

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Philippe Bechouche

Objetivos

Lecci´
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umeros reales

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Sucesiones aritm´
eticas

Objetivos de esta lecci´on

¿Qu´e es una sucesi´on aritm´etica?
¿Cu´al es el siguiente n´
umero en estas sucesiones?
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}
{1, 3, 5, 7, 9, 11,13, . . .}

1

Saber reconocer y construir sucesiones aritm´eticas.

2

Sumar series aritm´eticas finitas (no infinitas).

3

Saber reconocer y construir sucesiones geom´etricas.

4

Sumar series geom´etricas finitas e infinitas.

5

Entender y reconocer el concepto de sucesi´on convergente.

{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, . . .}
Las 3 suceciones son sucesiones aritm´eticas
Definici´on:
Una sucesi´
on{a1 , a2 , a3 , a4 , . . .} se dice aritm´etica si cada t´ermino se
puede obtener como la suma del t´ermino anterior m´as una cantidad
constante
es decir
a2 = a1 + r,

a3 = a2 + r

a4 = a3 + r,

...

r es lo que llamamos raz´on.
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eticas

Sucesiones aritm´
eticas

Una sucesi´on aritm´etica famosa: el inter´es simple

T´ermino general de una sucesi´on aritm´etica

Si tenemos un capital de 1000 euros, y lo metemos en un fondo de
inversi´on con un inter´es simple del 5 % TAE, al cabo de un a˜
no tenemos
1050 euros:
1050 = 1000(1 + 0.05)
En el segundo a˜
no el inter´es se vuelve a calcular sobre el capital inicialde
1000 euros, obteniendo otros 50 euros, luego tendremos 1100 euros.
La sucesi´on del capital acumulado anualmente ser´a:

Conociendo el primer t´ermino y la raz´on de una sucesi´on aritm´etica
podemos conocer toda la sucesi´on
Para la sucesi´on aritm´etica
{a1 , a2 , a3 , a4 , . . .}
tenemos que
a2 = a1 + r

{1000, 1050, 1100, 1150, 1200, . . .},

a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r =a1 + 2r + r = a1 + 3r
..
.
T´ermino general ai = a1 + (i − 1)r

que es una sucesi´on aritm´etica con a1 = 1000 y r = 5.

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Sucesiones aritm´
eticas

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Sucesiones aritm´
eticas

Ejemplos de sucesiones aritm´eticas

Ejemplos de sucesionesaritm´eticas

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Sucesi´on con a1 = 3 y r = 4:

ai =a1 + (i − 1)r= 3 + (i − 1)4

Sucesi´on con a1 = 5 y r = −2:

{3, 7, 11, 15, . . .}

ai = 5 + (i − 1) · (−2)

{5, 3, 1, −1, −5 . . .}

a2 = 3 + (2 − 1) · 4 = 7

a2 = = 5 + (2 − 1)(−2) = 3

a3 = 3 + (3 − 1) · 4 = 11

a3 = 5 + (3 − 1) · (−2) = 1

a4 = 3 + (4 − 1) · 4 = 15
..
.

a4 = 5 + (4 − 1) · (−2) = −1
..
.

a345 = 3 + (345 − 1) · 4 =1379

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a785 = 5 + (785 − 1) · (−2) = −1563

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Series aritm´
eticas

Series aritm´
eticas

¿Qu´e es una serie aritm´etica?

F´ormula para las sumas finitas

Definici´on:
Una serie aritm´etica es la suma de varios elementos consecutivosde una
sucesi´on aritm´etica.
Las que empiezan por el primer t´ermino de la sucesi´on se denotan por

Una suma finita como esta:
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an ,
tambi´en se puede escribir con el s´ımbolo de sumatoria:
n

Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an

Sn =

ai .
i=1

Ejemplo
Sucesi´on aritm´etica:

Y existe una f´ormula para calcular esta suma:
{3, 5, 7, 9, . . .}

Series aritm´eticas...