Resumen Alumnos New

Diferenciaci´
on de funciones
de varias variables
Grado en Matem´aticas.
´
Prof. Renato Alvarez
Nodarse
Versi´
on del 13/10/2015

Departamento de An´alisis Matem´atico
Facultad de Matem´aticas
(despacho: M´odulo 15, 1er piso, 15-07)
E-mail: ran@us.es

WWW: http://euler.us.es/~renato/

´Indice
1. Introducci´
on
1.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . .
1.2. Rn como espacio normado ym´etrico .
1.3. Espacios normados de dimensi´on finita
1.4. Espacios eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . .

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1
. 2
. 5
. 10
. 13

2. L´ımite, continuidad y diferenciabilidad
2.1. L´ımite y continuidad de funciones de varias variables
2.2. Diferenciabilidad de funciones de varias variables . .
2.3.Otras propiedades de la diferenciaci´on . . . . . . . .
2.4. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . .

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22

3. El Teorema de la funci´
on impl´ıcita
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3.1. El teorema de la funci´on impl´ıcita . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. El teorema de la funci´on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Aplicaci´on: Cambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Extremos de funciones de varias variables
35
4.1. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Bibliograf´ıa

43

1

1.

Introducci´
on

Elobjetivo de este curso es aprender las t´ecnicas de diferenciaci´on de las funciones
vectoriales de varias variables.
Vamos a definir el espacio Rn como el espacio de las n-tuplas (vectores) x = (x1 , · · · , xn ).
Para n = 1 tenemos el conjunto R de los num´eros reales. Para n = 2 tenemos el conjunto
de los vectores del plano (x, y), para n = 3 el conjunto de los vectores del espacio (x, y, z),etc.
Al igual que en el caso de una variable real, el concepto b´asico es el concepto de l´ımite.
As´ı, en el caso m´as sencillo de una funci´on f : R2 → R, z = f (x, y) nos interesar´a encontrar
el l´ımite
l´ım f (x, y).
(x,y)→(0,0)

¿C´omo calcularlo? Es conveniente tener en cuenta que el el caso de varias variables tenemos
un problema a˜
nadido pues, a diferencia del caso de R, en Rn hay muchasformas de
acercarse a un punto. Para mostrar lo anterior vamos a considerar unos ejemplos sencillos.
Ejemplo 1. Sea
 2
 x − y2
, si (x, y) = (0, 0),
f (x, y) =
x2 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0).
Una posibilidad es acercarnos al origen mediante rectas. Por ejemplo, si elegimos y = αx,
α = 0, con x → 0, est´a claro que f (x, αx) = (1 − α2 )/(1 + α2 ) y por tanto el l´ımite va
a depender de ladirecci´on que escojamos, lo cual no tiene sentido. Luego, para nuestra
funci´on no existe el l´ımite de f (x, y) cuando (x, y) → (0, 0).
Ejemplo 2. Sea la funci´on



x2 y
, si (x, y) = (0, 0),
f (x, y) =
x4 + y 2

0,
si (x, y) = (0, 0).
Si nos acercamos otra vez por rectas l´ımx→0 f (x, αx) = 0 para todo α, α = 0. No obstante podr´ıamos acercarnos mediante, digamos, par´abolas. De hecho siescojemos y = x2 ,
tenemos f (x, x2 ) = 1/2 = 0, luego el l´ımite no puede existir.
Ejemplo 3.
 3
 x
, si y = 0,
f (x, y) =
y

0, si y = 0.
En este caso es f´acil comprobar que si escogemos las trayectorias y = αx e y = αx2 el
l´ımite es cero, pero si escogemos, por ejemplo, y = x3 , obtenemos 1. luego el l´ımite no
puede existir.

´
1 INTRODUCCION

2

De los ejemplos anteriores se deduce quecomo m´ınimo el l´ımite no debe depender de
la forma en que nos acercamos al punto donde estamos tomando el l´ımite.
Ejemplo 4.

 |x|3/2 y
, si (x, y) = (0, 0),
2 + y2
f (x, y) =
x

0,
si (x, y) = (0, 0).
Teniendo en cuenta que 2|xy| ≤ x2 + y 2 cualesquiera sean x, y ∈ R, tenemos
0≤

x3/2 y
|xy|
1 1/2
1/2
|x| → 0
=
|x|
≤
x2 + y 2
x2 + y 2
2

cuando (x, y) → (0, 0). N´otese que en este caso, en...