Resumen De Algebra Lineal (Matrices)
Definición de Matriz
Una matriz mxn es un acomodo rectangular de números con m renglones y n columnas
m renglones
↑ ↑ ↑ ↑
n columnas
Decimos que la matriz tiene dimensiones m x n. Los números aij son loselementos de la matriz. Los subíndices del elemento aij señalan que está en el i-ésimo renglón y en la j-ésima colunma.
A continuación se presentan algunos ejemplos de matrices.
Matriz Dimensión
2x3 2 renglones por 3 columnas
1x41 renglón por 4 columnas
La matriz aumentada de un sistema lineal
Podemos representar un sistema de ecuaciones lineales como una matriz, que se denomina matriz aumentada del sistema. Escribiendo sólo los coeficientes y constantes que aparecen en las ecuaciones.
Ejemplo:
Sistema lineal Matriz aumentadaOperaciones elementales en los renglones
1. Sumar un múltiplo de un renglón a otro.
2. Multiplicar un renglón por una constante no cero.
3. Intercambiar dos renglones.
Al efectuar cualquiera de estas operaciones de la matriz aumentada de un sistema no cambia su solución.
Eliminación de Gauss
En general, para resolver un sistemade ecuaciones lineales usando la matriz aumentada efectuamos operaciones elementales con los renglones para llegar a una matriz de una cierta forma. Esta forma se describe a continuación
Forma escalonada y forma escalonada reducida de una matriz
Una matriz está en la forma escalonada si cumple con las siguientes condiciones.
1. El primer número no cero de cada renglón, de izquierda a derecha,es 1. Se denomina elemento principal.
2. El elemento principal de cada renglón está a la derecha del elemento principal en el renglón inmediatamente arriba de él.
3. Todos los renglones que constan totalmente de ceros están en la parte inferior de la matriz.
Una matriz está en la forma escalonada reducida si está en la forma escalonada y además cumple con las condiciones siguientes.
4. Todoslos números por arriba y por debajo de cada elemento principal es 0.
En las matrices siguientes la primera matriz está en la forma escalonada reducida, pero la segunda está sólo en la forma escalonada. La tercera matriz no está en la forma escalonada. Los elementos en negrita son los elementos principales.
Forma escalonada reducida Forma escalonada No está en laforma escalonada
Los 1 principales Los 1 principales Los 1 principales
tienen ceros por se desplazan a lano se desplazan
arriba y por abajo derecha en los a la derecha en los
de ellos renglones sucesivos. Renglones sucesivosA continuación se presenta una forma sistemática de poner una matriz en la forma escalonada efectuando operaciones elementales con los renglones:
El principio es obtener un 1 en la parte superior izquierda. Luego obtenemos ceros debajo de ese 1 sumando múltiplos adecuados del primer renglón a los renglones abajo de él.
A continuación, se obtiene un 1 principal en el siguiente...
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