Resumen De Conjuntos

Resumen de conjuntos:
propiedades y definiciones (parte I)


Genaro Luna Carreto


Las definiciones conjuntuales tienen una dependencia absoluta con la lógica de proposiciones,conectivos lógicos, tablas de verdad etc. De manera que es conveniente sean revisados con sumo cuidado. Por ejemplo, en esta página se usa la siguiente equivalencia deproposiciones:
¬(p⇒q)≡p∧¬q(1)
que resulta ser una de las más importantes. Se debe concientizar que las demostraciones matemátias en general usan en el fondo muchas equivelencias. La teoría deconjuntos no es la excepción.


Sean A, B conjuntos cuyos elementos se encuentran en un conjunto universal U.
DEFINICIÓN:
Si es verdadera la proposición
∀x∈U:x∈A⇒x∈B(2)
se diceque A es subconjunto de B. Este hecho se denota por A⊆B.

Es notable la dificultad que trae consigo la definición en términos de un cuantificador universal. Es por ello que durantelas demostraciones es útil sólo considerar la veracidad de la impliación
x∈A⇒x∈B(3)
A nivel informal, suele decirse que A⊆B si y sólo si ''cada elemento de A es elemento de B"DEFINICIÓN:
A=B si y sólo si A⊆B y B⊆A
DEFINICIÓN:
Intersección
A∩B={x∈U:x∈A∧x∈B}(4)
Unión
A∪B={x∈U:x∈A∨x∈B}(5)
Complemento
Ac={x∈U:x∉A}(6)
Diferencia
A∖B={x∈U:x∈A∧x∉B}(7)OBSERVACIÓN 1:
La definición de contención de conjuntos se estableció en términos de la veracidad de:
∀x∈U:x∈A⇒x∈B(8)
¿Qué significa A no está contenido en B? Se tendría que la proposición(8) es falsa, lo cual indica que su negación ¬(∀x∈U:x∈A⇒x∈B) es verdadera, pero
¬(∀x∈U:x∈A⇒x∈B)≡∃x∈U:¬(x∈A⇒x∈B)≡∃x∈U:x∈A∧x∉B(9)(10)
es decir,
A no está contenido en B si y sólo siexiste x en A que no está en B

OBSERVACIÓN 2:
Una propiedad importante de la diferencia conjuntual, es que es posible expresarla en términos de un complemento:
A∖B=A∩Bc(11)