Resumen De Criterios Sobre Convergencia Y Divergencia
Y DIVERGENCIA DE SERIES INFINITAS
A fin de adquirir destreza en el reconocimiento y aplicación del criterio apropiado, se requiere de práctica considerable, la cual
se obtendrá realizando los ejercicios de la guía respectiva. Como ayuda, se listan a continuación los criterios y se aconseja que sean
aplicados en el orden indicado. Si un paso enparticular no es aplicable o no puede inferirse ninguna conclusión, continúe con el
siguiente. En ocasiones pueden aplicarse más de un criterio, sin embargo, es importante que elija el más eficaz.
1 . − C a lc u le lim ( u n ). S i lim ( u n ) ≠ 0 , e n to n c e s la s e rie d ive rg e . S i lim ( u n ) = 0, n o p u e d e in fe rirse n in g u n a c o n c lu s ió n .
n → +∞
n→ +∞
n → +∞
2 .- E xa m in e la se rie a fin d e d e term in a r si c o rre sp o n d e a u n o d e lo s sig u ie n te s tip o s e sp e c ia le s:
+∞
∑ a .r
( i ) U n a se rie g e o m é tric a :
n −1
. C o n ve rg e a la su m a
n =1
+∞
( ii ) U n a se rie p :
∑
n =1
a
si r < 1; d iv e rg e si r ≥ 1 .
1− r
1
(d o n d e p e s u n a c o n s ta n te ). C o n v e rg e s i p > 1 ; d iverg e si p ≤ 1 .
np
+∞
( iii ) U n a s e rie a lte rn a n te :
∑ (− 1)
n +1
n =1
+∞
.a n
∑ (− 1)
ó
n
n =1
S i an > 0, y
.a n
a n +1 < a n
p a ra to d o s lo s n ú m e ro s e n te ro s p o sitivo s n , y si lim a n = 0 , e n to n c e s la s e rie a lte rn a n te e s c o n v e rg e n te .
n → +∞
3 . − A p liq u e e l c rite rio d e la ra z ó n , S e a+∞
∑u
n =1
u n a se rie in fin ita p a ra l a c u a l u n e s d ife re n te d e c e ro :
u n +1
= L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
un
( i ) s i lim
n → +∞
( ii ) si
n
u n +1
u
= L > 1, o si lim n + 1 = + ∞ , la se rie e s d iv erg e n te ;
n → +∞
un
un
lim
n → +∞
u n +1
= 1,
un
( iii ) si lim
n → +∞
n a d a se pu e d e in fe rir a c e rc a d e la c o n ve rg en c ia a p artir d e e ste c rite rio .
+∞
∑u
4 .- A p liq u e e l c rite rio d e la ra íz : S e a
n =1
( i ) s i lim
u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l ca d a U n e s d ife re n te d e c e ro :
u n = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
n
n → +∞
( ii ) si lim
n
u n = L > 1, osi lim
n
n → +∞
n→ +∞
( iii ) si lim
n
n → +∞
n
u n = + ∞ la s e rie e s d iv e rg e n te ;
u n = 1, n a d a se p u e d e in ferir a ce rc a d e la c o n ve rg e n c ia a p a rtir d e e ste c rite rio .
5 .- A p liq u e e l crite rio d e la in teg ra l: S e a f u n a fu n c ió n q u e e s c o n tin u a , d e c re c ie n te y d e va lo re s p o sitiv o s p a ra to d ax ≥ 1 . E n to n c e s la s e rie in fin ita
+∞
∑
f ( n ) = f (1) + f ( 2 ) + f (3) + ... + f ( n ) + ... e s c o n v e rg e n te s i la in te g ra l
n =1
+∞
im p ro p ia
∫
b
f ( x ). d x
e x iste , y e s d iv e rg e n te si lim
b → +∞
1
∫
f ( x ).d x = + ∞ .
1
+∞
6 .- A p liq u e e l c rite rio d e c o m p a ra c ió n : S e a la se rie
∑u
n=1
+∞
(i ) S i
∑v
n =1
u n a s e rie d e té rm in o s p o sitiv o s.
n
e s u n a se rie d e té rm in o s p o s itiv o s d e la c u a l se sa b e q u e c o n v e rg e , y si U n ≤ V n p a ra
n
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s
∑u
n =1
+∞
( ii ) S i
∑w
n =1
n
n
e s c o n v erg e n te .
e s u n a s e rie d e té rm in os p o sitivo s d e la c u a l se s a b e q u e d iv e rg e , y s i U n ≥ W n p ara
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s
∑u
n =1
n
e s d iv e rg e n te .
+∞
o a p liq u e el c riterio d e c o m p ra c ió n p o r p a s o a l lím ite : S e a n
∑u
n =1
( i ) S i lim
n → +∞
+∞
n
y
∑v
n =1
n
d o s se rie s d e té rm in o s p o s...
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