Resumen de gradientes

5. Gradientes
En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:
Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta odisminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto).
Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)
La aplicación de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios:
Negocios con amortización (crédito), tipo en el que partimosde un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la última cuota.
Negocios de capitalización (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado.
Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre elorigen del gradiente y el momento de valoración es el período de diferimiento o de gracia.
Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoración es el período de anticipación. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) oprepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).
 
5.1. Gradiente uniforme
La progresión aritmética, quiere decir, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto.
El gradiente uniforme es una sucesión de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por lamisma cantidad aritmética cada período de interés. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminución. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa deinterés periódica, el gradiente y el plazo. Sólo tienen aplicación en el siguiente flujo de caja:
[pic]
 
Para el cálculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (según el caso) del gradiente pospagable.
Ejercicio 97 (Valor actual de un gradiente arimético pospagable)
Calcular el valor de contado de un producto adquirido con financiamiento. Conuna cuota inicial de UM 1,500 y el saldo en 24 armadas mensuales que aumentan en UM 80 cada mes, siendo de UM 250 la primera. La tasa de interés es de 2.8% mensual.
Solución:
C = 250; n =24; i = 0.028; G = 80; VA = ?
1º Calculamos el valor actual del gradiente:
[pic]
2º Calculamos el valor actual de la serie:
[pic]
Finalmente, calculamos el valor de contado del producto, sumando losvalores actuales: 1,500 + 17,740 + 4,327 = UM 23,567
 
5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado
Son anualidades que tienen infinito número de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es muy grande asumimos que es infinito.
Este tipo de anualidades son típicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses. 
[pic]
 
Para el cálculo de la anualidad en progresión geométrica perpetua operamos, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante, a saber:
[pic]
Ingresando la variable C dentro del paréntesis, nos queda:
[pic] 
 
El...