Resumen De Limites

Límite de una función en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0. 
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
|x |f(x) |
|1,9 |3,61|
|1,99 |3,9601 |
|1,999 |3,996001 |
|... |... |
|↓ |↓ |
|2 |4 |
|x |f(x) |
|2,1 |4.41 |
|2,01 |4,0401 |
|2,001 |4,004001 |
|... |... |
|↓ |↓|
|2 |4 |


Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| 0 existe δ > 0 tal que si x [pic](a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| 0 existe δ > 0 tal que si x [pic](a, a + δ), , entonces |f (x) - L| 0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.
[pic]
[pic]
[pic]

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x [pic]a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica quef(x) < k para todos los valores próximos a a.
[pic]

[pic]
[pic]

Límites en el infinito



Límite cuando x tiende a infinito

[pic]

Límite cuando x tiende a menos infinito

[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]
[pic]

Propiedades de los límites



Límite de una constante

[pic]

Límite de una suma

[pic]

Límite de un producto

[pic]

Límite de uncociente

[pic]

Límite de una potencia

[pic]

Límite de una función

[pic]
g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

[pic]

Límite de un logaritmo

[pic]

Límites



Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suelecumplir que:
[pic]

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.
[pic]
[pic]
[pic]

No podemos calcular [pic]porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular [pic], aunque 3 no pertenezca al dominio, D= [pic]− {2, 3}, si podemos tomar valoresdel dominio tan próximos a 3 como queramos.



Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.
Si coinciden, este es el valor del límite.
Si no coinciden, el límite no existe.
[pic].
En x = −1, los límites laterales son:
Por la izquierda:[pic]
Por la derecha:[pic]

Como enambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.
En x = 1, los límites laterales son:
Por la izquierda:[pic]
Por la derecha:[pic]

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Cálculo de límites cuando x [pic]∞


Para calcular el límite de una función cuando x [pic]∞ se sustituyen las x por ∞.

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x[pic]∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.
[pic]

[pic]


Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:
[pic].
[pic]



Cálculo de límites cuando x [pic]-∞

[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

[pic]
No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.
 

Límite de...