Resumen de sistemas de ecuaciones lineales

CAPÍTULO 3

Sistema de ecuaciones lineales

En la administración, la economía o aplicaciones de ciencias sociales, a veces nos interesamos en determinar si hay valores de variables que satisfacen varios atributos. En este capítulo cubriremos los procesos que se usan para determinar si hay valores de variables que juntos satisfacen un conjunto de ecuaciones.

3.1 Sistemas de ecuaciones condos variables

Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto que consiste en más de una ecuaciones es un conjunto que consiste en más de una ecuación, Una manera de caracterizar un sistema de ecuaciones es por sus dimensiones. Si un sistema de ecuaciones consiste en m ecuaciones y n variables, decimos que este sistema es un sistema de “m por n”, o que tiene dimensiones de m Xn.

Al resolver sistemas de ecuaciones, nos interesamos en identificar valores de variables que satisfacen de manera simultánea todas las ecuaciones del sistema.
Como se verá en este capítulo, el conjunto solución S de un sistema de ecuaciones lineales puede ser un conjunto nulo, un conjunto finito o un conjunto infinito.*

Hay muy pocos procedimientos de solución que se pueden usar parasolucionar sistemas de ecuaciones. En este capítulo nos concentraremos en dos procedimientos diferentes.

Análisis gráfico

A partir del capítulo 2 que se gráfica un sistema de ecuaciones que incluye dos variables como una línea recta. Se representa un sistema de ecuaciones lineales de (2 x 2) con dos líneas rectas en dos dimensiones. Al despejar los valores de las dos variables que satisfacenambas ecuaciones, tratamos de determinar gráficamente si las dos líneas rectas tienen algún punto en común.

Puede haber tres tipos distintos de conjuntos solución para los sistemas de ecuaciones de (2 x 2): las dos líneas rectas se intersecas, cuando sólo hay un pare de valores para las variables que satisfacen el sistema de ecuaciones, se dice que es sistema tiene una solución única.

Las doslíneas rectas son paralelas entre sí. Si un sistema de ecuaciones de (2 x 2) tiene estas características, se dice que el sistema no tiene solución. Se dice que las ecuaciones son inconsistentes en dicho sistema.

En este capítulo ambas ecuaciones se trazan como la misma línea recta y se considera que son ecuaciones equivalentes. Un número infinito de valores es común a las dos líneas rectas y sedice que el sistema tiene una infinidad de soluciones.

Soluciones gráficas

Los planteamientos de solución gráfica son posibles para sistemas de ecuaciones con dos variables. Sin embargo, se debe ser preciso en el trazo de sus gráficas.

El procedimiento de eliminación

Un método popular para resolver sistemas con dos o tres variables es el procedimiento de eliminación. Dado un sistemade ecuaciones de (2 x 2), se suman las dos ecuaciones o múltiplos de las dos ecuaciones con el fin de eliminar una de las dos variables. La ecuación resultante se expresa en términos de la variable restante. Se puede despejar la variable restante en esta ecuación, valor que se puede sustituir de nuevo en una de las ecuaciones originales y despejar el valor de la variable eliminada.

Se puedegeneralizar el procedimiento de eliminación para un sistema de ecuaciones de (2 x 2):

Con el fin de especificar elementos de la muestra del conjunto solución, podríamos suponer un valor arbitrario para x o y y sustituir este valor en una de las ecuaciones originales, despejando el valor correspondiente de la otra variable. Por ejemplo, verifique que si suponemos que y = 3, la situación de estevalor en la ecuación (3.6) o en la (3.7) dará como resultado el valor correspondiente x = 4. Por lo tanto, un elemento del conjunto solución es (4, 3).Una manera mas general de especificar el conjunto solución consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones originales. El resulto es Procedimiento de eliminación para sistema una ecuación que expresa el valor de una...