Resumen del contrato social

 TRANSFORMACIONES LINEALES:
Notación standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v pertenece a V y w esta en W, T(v) = w donde w será la imagen de v bajo T, el conjunto de todas las imágenes se llama contradominio de T y el conjunto de v de V tales que T(v) = w se llama preimagen de w.
La definición de transformación lineal es que todo espacio vectorial en V y W se puedehacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución bajo la suma ( T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicación por un escalar (T(cU)= cT(u)). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus propiedades que son :
 T(0) = 0
 T(-v) = - T(v)
 T(v-u) = T(v)-T(u)
 Sí v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ... + cn T(vn).
Paradefinir una transformacion lineal por una matriz esta se notara así: siendo a la matriz m x n la funcion T se definirá T(v) = Av que suna transformación lineal de Rn en Rm .
El núcleo se puede encontrar definiendo la transformada así. T(v) = 0 esto también se denomina como Kernel de T y se denota Ker (T) para que sea núcleo esta debe cumplir que Ax = 0.
La dimensión del núcleo se llama nulidad y ladimensión del contradominio de T se llama rango (si A = matriz entonces el rango de T va ser = rango de A).
Dimensión del dominio = dimensión del rango + dimensión del núcleo.
Las transformaciones lineales puede ser uno a uno que son aquellas que la preimagen de W consta de un solo vector, o sea, será uno a uno para toda u y v en V, T(u) = T(v), también hay que tomar en cuenta que ker(T) = 0.También las transformadas lineales puede ser sobre si y solo si el rango de T es igual a la dimensión de W. Y un transformación lineal es biyectiba si es uno a uno y sobre.
Existencia de una transformación inversa:
Sea T: Rn ! Rn una transformada de una matriz standard. Debe cumplir las siguientes condiciones:
T es invertible
T es un isomorfismo
A es invertible
Si T es invertible con matrizstandard A, entonces la matriz standard de T-1 es A-1.
Un caso especial seria cuando V 0 W y B = B', don de la matriz A que se denomina matriz de T con respecto a la base B. En este caso la matriz de la transformación identidad es simplemente In.
La matriz de transición de un transformada lineal depende del espacio V.
Las matriz de transición T con respecto a la base B es diferente a la matriz Tcon respecto a otra base B'.
A'[(V)]B' ! [ T(V)]B' es la forma directa a través de la matriz A'.
P-1AP[V]B' = T[(V)]B' forma indirecta.
A' = P-1AP
Donde a es la matriz de T con respecto a B, A' es la matriz T con respecto a B', P es la matriz de transición de B' a B, P-1 es la matriz de transición B a B'
C o n c l u c i o n e s
21.3. Transformaci´on Lineal
Definici´on 21.1
Sean V y W dosespacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformaci´on lineal o mapeo lineal
de V a W es una funci´on T : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier
escalar c:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)
2
Ejemplo 21.1
Demuestre que la tranformaci´on T : R2→R2 definida por
T _ x
y _ = _ x + 3 y
x + 2 y _
es lineal.
Soluci´on
Sean u = _ x1
y1 _ y v = _ x2
y2 _.Entonces
T(u + v) = T __ x1
y1 _ + _ x2
y2 __ = T _ x1 + x2
y1 + y2 _
= _ (x1 + x2) + 3 (y1 + y2)
(x1 + x2) + 2 (y1 + y2) _
= _ x1 + 3 y1
x1 + 2 y1 _ + _ x2 + 3 y2
x2 + 2 y2 _
= T _ x1
y1 _ + T _ x2
y2 _ = T(u) + T(v)
Por otro lado, para todo escalar c,
T(c u) = T _ c x1
c y1 _
= _ c x1 + 3 c y1
c x1 + 2 c y1 _
= c _ x1 + 3 y1
x1 + 2y1 _
= c T _ x1
y1 _
= c T(u)
Como se cumplenlas dos condiciones:
T(u + v) = T(u) + T(v) Ejemplo 21.3
Sea A una matriz m × n. Demuestre que la transformaci´on T : Mn×k→Mm×k definida como
T(B) = AB
es lineal.
Soluci´on
Sean B y C dos matrices n × k cualquiera y c un escalar cualquiera:
T(B + C) = A(B + C) = AB + AC = T(B) + T(C)
T(cB) = A(cB) = c (AB) = c T(B)
Como se cumplen las dos condiciones:
T(B + C) = T(B) + T(C)
T(cB) = c...