Resumen ecuaciones diferenciales

Resumen de Ecuaciones Diferenciales.
dy f (x) = . dx g(y)

1. Variables separadas, o separables: y =

Separamos la ecuaci´n en g(y)dy = f (x)dx, e integrando en ambos miembros, se tiene o G(y) =F (x) + C. 2. Homog´neas: y = f (y/x). e Cambio de variable u = y/x (donde u = u(x)). En consecuencia, y = ux y por tanto y = u x + u; como y = f (y/x) = f (u), se tiene u x + u = f (u) que es devariables separadas. 3. Reducibles a homog´neas: y = f e ax + by + c . ax+by+c

Este tipo de ecuaci´n es homog´nea s´lo cuando c = c = 0. En otro caso, llamando o e o r, r , respectivamente, a lasrectas de ecuaciones ax + by + c = 0, a x + b y + x = 0, pueden darse las siguientes posibilidades: (i) Si r, r son paralelas, entonces a x + b y = k(ax + by) (tambi´n puede expresarse e ax + by como unm´ltiplo de a x + b y). Realizamos el cambio z = ax + by, que u conduce a una ecuaci´n de variables separadas. o (ii) Si r, r no son paralelas, es decir, si se cortan en un punto P0 = (x0 , y0 ),realizamos el cambio {x = u + x0 , y = v + y0 }, que convierte la ecuaci´n en homog´nea (con o e v haciendo el papel de y, y u haciendo el papel de x). 4. Lineales: y + a(x)y + b(x) = 0. Obtenemos primerola ecuaci´n general de la homog´nea (yh (x)), y despu´s una soluci´n o e e o particular de la no-homog´nea (yp (x)); la soluci´n buscada es e o ynh (x) = yh (x) + yp (x) • Homog´nea (b(x) = 0): y +a(x)y = 0; es de variables separadas. Debemos e expresar su soluci´n general en la forma yh (x) = C · u(x). o • No-homog´nea (b(x) = 0): (m´todo de variaci´n de las constantes) buscamos una e e osoluci´n particular de la forma o yp (x) = C(x) · u(x)

5. Bernouilli: y + a(x)y + b(x)y n = 0. (i) Dividimos toda la ecuaci´n por y n . o (ii) Realizamos el cambio z = 1/y n−1 . Este cambio convierte laecuaci´n en lineal. o 6. Diferencial Exacta: La ecuaci´n P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 es diferencial exacta, o si existe f (x, y) tal que df = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, es decir, si ∂f ∂f = P (x, y), =...