Resumen EDO Primer Orden
Tipo de ecuaci´
on:
dy
= f (x)g(y)
dx
(Ecuaci´on de variables separables)
M´
etodo de Resoluci´
on:
• Separando variables:
dy
1
= f (x)g(y) ⇔
dy = f (x)dx
dx
g(y)
•Integrando a ambos lados:
1
dy =
g(y)
f (x)dx
• Despejar y.
Tipo de ecuaci´
on:
dy
= f (ax + by + c)
dx
con a, b y c n´
umeros reales. (Ecuaci´on de variables separables)
Cambio de variable:
z = ax + by+ c
entonces
dz
dy
=a+b
dx
dx
M´
etodo de Resoluci´
on:
• Reemplazar z y
dz
dx .
• Separar variables.
Tipo de ecuaci´
on:
dy
y
=f
dx
x
(Ecuaci´on de variables separables)
Cambio de variable:z=
entonces
y
x
f (z) − z
dz
=
dx
x
M´
etodo de Resoluci´
on:
• Reemplazar z y
dz
dx .
• Separar variables.
Tipo de ecuaci´
on:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
con M (x, y) y N (x, y) funcioneshomog´eneas. (Ecuaci´on de variables separables.)
Cambio de variable:
F (x, y) =
−M (x, y)
N (x, y)
M´
etodo de Resoluci´
on:
•
dy
dx
= F (x, y)
•
dy
dx
= F (1, xy )
• Se resuelve como el casoanterior.
2
Tipo de ecuaci´
on:
dy
+ P (x)y = g(x)
dx
(Ecuaci´on lineal no homog´enea (si g(x) = 0) u homog´enea (si g(x) = 0))
M´
etodo de Resoluci´
on:
• Llevar a forma est´
andar.
• Determinar factorintegrante:
e
P (x)dx
• Multiplicar la forma est´
andar por el factor integrante.
e
P (x)dx dy
dx
P (x)dx
+e
P (x)y = e
P (x)dx
g(x)
• Notar que el lado izquierdo de la igualdad es laderivada del factor integrante por y.
d(e
P (x)dx y)
dx
=e
P (x)dx
g(x)
• Integrando con respecto a x.
e
P (x)dx
y=
e
P (x)dx
g(x)dx
• Despejar y.
y = e−
P (x)dx
e
P (x)dx
Tipo de ecuaci´on:
dy
+ p(x)y = q(x)y n
dx
(Ecuaci´on de Bernoulli )
Cambio de variable:
z = y 1−n
entonces
dz
dy
= (1 − n)y −n
dx
dx
3
g(x)dx
M´
etodo de Resoluci´
on:
• Reemplazar z y
dz
dx .
• Obtenemos unaecuaci´
on lineal y se resuelve con ese m´etodo.
dz
+ p(x)(1 − n)z = (1 − n)q(x)
dx
Tipo de ecuaci´
on:
dy
= p(x)y 2 + q(x)y + r(x)
dx
(Ecuaci´on de Riccati)
Cambio de variable:
y = y1 +
1
z...
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