Resumen edo

Resumen EDO - Control 1

´ Pablo Estefo C. [pestefo@ing.uchile.cl]

Cap´ ıtulo 1 y 2
EDO de Variables Separables
Sea y = g(t) , con g, h contnuas y h(y) = 0 h(y) H(s) G(t)
y(t) y0

Ec. de Ricatti
y = P (t) + Q(t)y + R(t)y 2 1◦ y1 soluci´n de la edo o 2◦ Definimos z = y(t) − y1 (t) → y = z + y1 3◦ Reemplazando y despejando z tenemos z − (Q(t) + 2y1 (t)R(t))z = R(t)z 2 (Bernoulli n = 2)H(y) = G(t) + C ⇐ Con c.i. y =
y(t)

= =

h(s)ds g(t)dt
t t0

g(t) y y(t0 ) = y0 h(y)
t t0

h(s)ds =

g(t)dt

H(y)
y0

= G(t)

−→ H(y(t)) = G(t) + H(y0 ) + G(t0 )
C

Cap´ ıtulo 3
Teo - Def {f1 (t), f2 , . . . , fn (t)} es l.i. ⇐⇒ Su Wronskiano asociado f1 ... fn f1 ... fn =0 W (f1 , f2 , . . . , fn ) = . . .. . . . . .

EDO Lineal de Primer Orden
y + P (t)y = f (t) 1◦Multiplicamos por e
R R P (t)dt

2◦

R d(y(t)e P (t)dt ) = f (t)e P (t)dt dt R P (t)dt

3◦ Integramos y dividimos por e y(t) = Ce−
R P (t)dt

.
R P (t)dt

f1 dt

(n−1)

...

fn

(n−1)

+ e−

R

P (t)dt

·

f (t)e

EDOs Lineal de segundo orden homog´nea e
y + P (t)y + Q(t)y = 0 → y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t) dt 2 y1 (t) Obs En este m´doto se trabaja sobre la ec.normae lizada. Caso 1: y1 (t) conocido, y2 (t) = y1 (t) · Caso 2 (Coef. Ctes): ay + by + cy = 0. e−
R P (t)dt

homog´nea e particular

EDO No Lineal de Primer Orden
y =− M (t, y) , M, N cont´ ınuas N (t, y)

Cumplen M (st, sy) = sα M (t, y) y N (st, sy) = sα N (t, y) u+
M (1,u) N (1,u)

1◦ CV: y = ut → u = −

t

Tanteo sols. emt . Con lo que la ec ⇔ p(m) = am2 +bm+c = 0 → m1 , m2Soluciones posibles: a) m1 = m2 ∈

2◦ Resolver ec. de variables separables con −1 1 (1,u) h(u) = u + M(1,u) g(t) = − N t 3◦ Obtener u(t) y reemplazar en el cv.

R → y(t) = c1em t + c2em t
1 2

b) m1 = m2 ∈ R → y(t) = emt (c1 + c2 t) c) m = α ± iβ → y(t) = eαt (c1 cos(βt) + c2 sin(βt)) Caso 3 (Euler-Cauchy): at2 y + bty + cy = 0, tanteo y = tα . Con lo q la ec ⇔ aα2 + (b − a)α + c = 0 Solucionesposibles: a) α1 = α2 ∈

Ec. de Bernoulli
y + P (t)y = f (t)y n → y −n y + P (t)y 1−n = f (t) Usar cv. u(t) = y 1−n → u = (1 − n)y −n y queda una ec. lineal de primer orden u + (1 − n)P (t) u = (1 − n)f (t)
˜ P (t) ˜ f (t))

R → y(t) = c1tα + c2tα 1 2

1

Resumen EDO - Control 1

´ Pablo Estefo C. [pestefo@ing.uchile.cl]

b) α1 = α2 ∈ R → y(t) = c1 tα + c2 (ln(t))tα c) α = a ± ib →y(t) = tc [c1 cos(b ln(t)) + c2 sin(b ln(t))] Obs A veces sirve hacer el cv u = ln(t) sobre la var. independiente.

4◦ La forma de la sol. particular es la nueva homog´nea menos la homog´nea obtenida en 1◦ e e ∗ yp = yh − yh 5◦ Reemplazamos yp (t) con sus coef. indet. en la EDO y calculamos los coefs. igualando a g(t).

Cap´ ıtulo 4
Transformada de Laplace
Def f (t) es de orden exponencial si∃C > 0, M > 0, T > 0 tq. |f (t)| ≤ M eCt , Def Transformada de Laplace
∞

Edos lineales de orden n no homog´neas e
Variaci´n de Par´metros o a y + P (t)y + Q(t)y = f (t) 1◦ Hallar sols. homog´neas y1 , y2 (m´todos anteriores) e e 2◦ yp (t) = u1 y1 (t) + u2 (t)y2 (t) y1 y1 3 Usando Kramer u1 u2 1 = W (y1 , y2 ) y2 −y1 −y2 y1 0 f (t)
◦

∀t ≥ T

L(f (t)) = F (s) ≡ = 0 f (t)
0

e−st f(t)dt

y2 y2

u1 u2

Teo f (t) cont´ ınua por trozos y ord. exp. ⇒ admite TdL ∀s > C Teo La TdL es cont´ ınua en intervalo (C, ∞) Prop La TdL es lineal. Def Transformada Inversa f (t) = L−1 (F (s)). Tb es lineal. Prop Sean f (t), g(t) dos funciones con una cantidad finita de valores distintos poseen igual transformada (suponiendo q cumplen las condiciones). Prop Si F (s) es la transformada dealg´n f (t) u ⇒ l´ F (s) = 0 ım
s→∞

4◦ Finalmente u1 = − u2 = y1 f (t)dt W (y1 , y2 )(t)

y2 f (t)dt y W (y1 , y2 )(t)

Def Operador Diferencial d2 dn d D ≡ , D2 = 2 , . . . , Dn = n . D es lineal dt dt dt M´todo de coeficientes indeterminados e an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y + a0 y = g(t) ⇐⇒ (an Dn + an−1 Dn−1 + . . . + a1 D + a0 I)y(t) = g(t) 1◦ Obtener soluciones homog´neas yh...