Resumen Función Parte I Lineales y Cuadráticas

Universidad de C´
ordoba
Departamento de Matem´
atica y Estad´ıstica
Profesores: Marcos Castro; Jimmy Lloreda, Jorge Reyes, Ketty
Posada

Matem´
atica B´
asica-Resumen - Funciones Parte I

1.

´
FUNCION

Definici´
on[Funci´
on]
Sean A, B subconjuntos de R, una funci´on de A en B denotada f : A → B, es una relaci´on entre los
elementos de A que los denotamos por x y los elementos de B que losdenotamos por y, en los que a
cada elemento de x ∈ A le corresponde un u
´nico valor y ∈ B. x ∈ A se le llama variable independiente
y a y variable dependiente, se escribe y = f (x).

Al conjunto A se le llama dominio de f y se denota por Domf . Si f esta dada por una expresi´
on
matem´atica el dominio se define por

Domf = {x ∈ R : f (x) ∈ R}
Es decir son todos los valores x reales tal que laexpresi´on f (x) tiene sentido en R, esto son todos los
valores reales que se pueden reemplazar en la expresi´on dada para f .
OBS.
p(x)
, p, q polinomis entonces, la expresion para f
q(x)
tiene sentido para todos los valores de x tal que q(x) = 0.

Si f es una funci´on racional esto es, f (x) =

Si f es de la forma f (x) =

r(x), esta expresi´on tiene sentido si r(x) ≥ 0.

Ejemplo 1 Detremine el dominiode la funci´
on dada
1. f (x) =

x2 − 4
2x
1

2. f (x) =

x+1
3x − 6

2x3
2x2 − 8x
√
4. f (x) = 3x

3. f (x) =

5. f (x) =
6. f (x) =
7. f (x) =

√
√
√

x−4
3x + 12
6 − 2x

Soluci´
on.
x2 − 4
es una funci´on racional la expresi´on para f tiene sentido siempre que el
2x
denominador sea distinto de cero, asi

1. Como f (x) =

Domf = {x : f (x) ∈ R} = {x : 2x = 0} = {x : x =

0
= 0} = {x : x = 0} =R − {0}.
2

x+1
es una funci´on racional la expresi´on para f tiene sentido siempre que el
3x − 6
denominador sea distinto de cero, asi

2. Como f (x) =

6
Domf = {x : f (x) ∈ R} = {x : 3x − 6 = 0} = {x : 3x = 6} = {x : x = } = {x : x = 2} = R − {2}.
3
2x3
es una funci´on racional la expresi´on para f tiene sentido siempre que
2x2 − 8x
el denominador sea distinto de cero, asi

3. Como f (x) =Domf = {x : f (x) ∈ R} = {x : 2x2 − 8x = 0} = {x : 2x(x − 4) = 0} = x : 2x = 0 y x − 4 = 0
= x : x = 0 y x = 4 = R − {0, 4}.
4. Dado f (x) =

√

3x es una funci´on que involucra una raiz par, la expresi´on para f tiene sentido

siempre que la expresi´on dentro de la raiz sea mayor o igual a cero, asi
0
Domf = {x : f (x) ∈ R} = {x : 3x ≥ 0} = {x : x ≥ } = x : x ≥ 0} = [0, +∞)
3
5. Dado f (x) =

√

x −4 es una funci´on que involucra una raiz par, la expresi´on para f tiene sentido

siempre que la expresi´on dentro de la raiz sea mayor o igual a cero, asi
Domf = {x : f (x) ∈ R} = {x : x − 4 ≥ 0} = {x : x ≥ 4} = [4, +∞)

2

6. Dado f (x) =

√

3x + 12 es una funci´on que involucra una raiz par, la expresi´on para f tiene

sentido siempre que la expresi´on dentro de la raiz sea mayor o igual acero, asi
Domf = {x : f (x) ∈ R} = {x : 3x + 12 ≥ 0} = {x : 3x ≥ −12} = {x : x ≥

−12
}
3

={x : x ≥ −4} = [−4, +∞).
7. Dado f (x) =

√

6 − 2x es una funci´on que involucra una raiz par, la expresi´on para f tiene

sentido siempre que la expresi´on dentro de la raiz sea mayor o igual a cero, asi
Domf = {x : f (x) ∈ R} = {x : 6 − 2x ≥ 0} = {x : 6 ≥ 2x} = {x : 2x ≤ 6}
6
={x : x ≤ } = {x : x ≤ 3} =(−∞, 3].
2

2.

Funci´
on Lineal y la Ecuaci´
on de la Recta

Definici´
on: Una funci´on lineal es toda funci´on de la forma
f (x) = mx + b
m es llamada la pendiente de la recta. La grafica de esta funci´on en una linea recta y tiene por
ecuaci´on y = mx + b.
OBS
Si la gr´afica de y = mx + b pasa por los dos puntos (x1 , y2 ), (x2 , y2 ), entonces la pendiente se
puede calcular usando
m=

y2 − y1
.x2 − x1

Si la recta pasa por el punto (x1 , y1 ) y tiene la pendiente m, entonces la ecuaci´on de la recta se
puede calcular usando la formula
y − y1 = m(x − x1 ).

3

Ejemplo 2 Detrmine la ecuaci´
on de la recta que pasa por (−2, 1) y tiene pendiente m = 2.
Soluci´
on. Llamamos (x1 , y1 ) = (−2, 1) y usamos la formula y − y1 = m(x − x1 ). As´ı, la ecuaci´
on
es y − 1 = 2(x − (−2)), esto es...