Resumen fundamentos matematicos i

Matemáticas I


Tema 1 – Sistemas de Ecuaciones Lineales. Matrices


Sea el sistema de ecuaciones:


Definición: Se dice que A es una matriz de orden mxn, si es un cuadro de elementos de k formado por m filas y n columnas en el que no suele importar el elemento sino su posición en el cuadro.
Se denota A∈Mnxm (k) k= Cuerpo R real, C complejo

Las matrices se denotan por letrasmayúsculas: A, B… y sus elementos con minúsculas: a1j, b1j, …, aij, bij, …[pic]

En general un elemento aij, esta situado en la fila i columna j.


NOTA: y No son iguales porque influye la posición de cada elemento.[pic]


Casos Particulares:

● Si m=1 A(a11 a12 … a1n) Se puede denotar quitando el primer miembro a11 y queda de esta forma [pic] A(a1 a2 … an) y se le llama matriz fila ovector fila.
● Si n=1 Matriz columna o vector columna. Lo mismo que el anterior pero eliminando el segundo miembro [pic][pic]
● Si m=n A se denomina cuadrada de orden n. en lugar de mxn se pone n y se indica A∈Mn (k)[pic]; A los elementos a11 a22 a33 … ann [pic] se les llama elementos diagonales.
[pic][pic][pic]
● Si m=n=1 A(a11)[pic] se puede denotar como (a)[pic]
● A,se dice triangular superior si: aij = 0; i >j; i, j = 1 … n[pic] por debajo de la diagonal sus elementos son cero [pic][pic]
● A, se dice triangular inferior si: aij = 0; i < j; i, j = 1 … n [pic] por debajo de la diagonal sus elementos son cero [pic][pic]
● A, se dice diagonal si es triangular superior e inferior al mismo tiempo
[pic][pic]
Tipos de Matriz: Matriz Fila, Matrizcolumna, Matriz cuadrada, Matriz diagonal (Triangular superior y triangular inferior), Matriz Traspuesta, Matriz Simétrica (A=At), Matriz Antisimétrica (-A=At: Los elementos de la diagonal = 0).
|Matriz Fila |Matriz Columna |Matriz Cuadrada |Matriz Diagonal |Matriz triangular inf. |
| |[pic] | |[pic]|[pic] |
|[pic] | |[pic] | | |


Definición: Dada [pic] A∈Mnxm (k) se dice matriz traspuesta de A a una matriz perteneciente a una matriz B ∈Mnxm (k)[pic]; tal que:
[pic] aij = bji; (bij = aji)[pic]; [pic][pic] se denota B = At = A’[pic]

EJ.:[pic]


Definición: Dada A∈Mnxm (k) [pic] se dice simétrica si At = A[pic]. Ej.: [pic][pic][pic]



Definición: Dada A∈Mnxm (k) [pic] se dice antisimétrica si la traspuesta es At = - A [pic] Ej.: [pic][pic][pic]
Los elementos de la diagonal han de ser nulos.

Definición: Dos matrices A y B son iguales si coincide su orden y los elementos correspondientes a las mismasposiciones son iguales
Ej.: [pic][pic][pic] Ej.: No se puede anular ya que tienen distinto tamaño:[pic][pic][pic]



Operaciones con Matrices

Suma de Matrices: Dadas A, B ∈Mnxm (k)[pic], se dice matriz suma a C ∈Mnxm (k) [pic] tal que los elementos de la nueva se obtiene sumando los elementos de una más la otra av + bv = cr; si dos matrices no son del mismo tamaño no se pueden sumar.Ej.: [pic]

[pic][pic]
Propiedades:

● Operación interna: A, B ∈Mnxm (k) ⋄ A + B ∈Mnxm (k)
● Asociativa: A, B, C ∈Mnxm (k) ⋄ (A + B) + C = A + (B + C)[pic]
● Conmutativa: A, B ∈Mnxm (k) ⋄ A + B = B + A[pic]
● Elemento Neutro: Elemento que sumado a todos no provoca variación alguna, este es la matriz nula representada por 0, ∃ 0 ∈Mnxm (k) tal que A + 0 = 0 + A ∀ A ∈Mmxn (k)[pic] [pic][pic]
● Elemento opuesto: Dada A ∈Mmxn (k) ∃ B ∈Mmxn (k) [pic]tal que A + B = B’ + A = 0; bij = - aij; [i = 1 … m, j = 1 … n][pic] se denota B = - A y se dice matriz opuesta de A
● Se verifica (Mnxm (k), + ) [pic] es grupo Abeliano, porque cumple lo anterior en la suma.



Diferencia o resta de Matrices: Dada A,B ∈Mmxn(k) [pic]se dice resta o...