Resumen geometria

RESUMEN DE GEOMETRÍA

1. Para probar que dos ángulos son congruentes basta probar que son ángulos homólogos de triángulos congruentes o que son ángulos opuestos de un paralelogramo o que son ángulos homólogos de triángulos semejantes.

2. Para demostrar que dos segmentos son congruentes basta probar que son lados homólogos de triángulos congruentes o que son lados opuestos de unparalelogramo o que son radios de un mismo círculo.

3. Para demostrar que un triángulo es isósceles basta probar que tiene dos ángulos iguales o que una de sus alturas es también mediano o que tiene dos alturas iguales.

4. Para demostrar que un triángulo es rectángulo basta probar que el cuadrado de la medida de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de losotros lados.

5. Para demostrar que dos rectas son perpendiculares basta probar que son diagonales de un rombo o que son lados consecutivos de un rectángulo.

6. Para demostrar que dos rectas son paralelas basta probar que son lados opuestos de un paralelogramo o que de ser cortadas por una transversal forman ángulos internos alternos iguales.

7. Para probar que un cuadrilátero esun paralelogramo basta probar que sus lados son de dos en dos paralelos, o que de sus lados son iguales y paralelos, o que sus diagonales se bisecan mutuamente.

8. Para probar que un cuadrilátero es un rectángulo basta probar que es un paralelogramo y sus diagonales son iguales.

9. Para probar que un cuadrilátero es un rombo basta probar que es un paralelogramo y sus diagonales secortan perpendicularmente.

10. Para probar que un paralelogramo es un cuadrado basta probar que sus diagonales son iguales y se cortan perpendicularmente.

11. Para probar que una semirrecta es bisectriz de un ángulo basta probar que un punto de ella equidista de los lados del ángulo.

CAPÍTULO I
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

Posición relativa entre una recta y un plano: Dada unarecta l y un plano , existen las siguientes posibilidades:

a) Que la recta esté en el plano. Es decir, l .
b) Que la recta y el plano tengan un solo punto P en común. Es decir, l = P.
c) Que la recta y el plano no tengan ningún punto en común. Es decir, l = . En este caso decimos que la recta es paralela al plano, y escribimos l .

Nota: En el espacio, tres puntos nocolineales determinan un único plano.

Proposición 1.1. Una recta l y un punto P que no está en la recta, determinan un único plano.

Proposición 1.2. Dos rectas que se intersecan determinan un único plano.

Proposición 1.3. Dos rectas paralelas determinan un único plano.

Dadas dos rectas en el espacio, pueden pertenecer a un mismo plano o no pertenecer a un mismo plano.
Si dos rectasestán en un mismo plano, estas o se intersecan, o son paralelas.
Si dos rectas no están en un mismo plano, se llaman rectas alabeadas.
Dos rectas en el espacio o se cortan en un punto, o son paralelas, o están en planos distintos.

Posición relativa entre dos planos: Dados dos planos en el espacio puede que se intersequen y pueden no intersecarse.

a) Si dos planos y no se intersecan, esdecir, = , decimos que son planos paralelos.
b) Si por otro lado, decimos que los planos se intersecan.

Nota: Si dos planos tienen un punto en común, también tienen una recta en común

Proposición 1.4. Si dos planos distintos se intersecan su intersección es una recta.

* Tres rectas que se cortan de dos en dos están en un mismo plano o pasan por un mismo punto.
* Sin rectas se cortan de dos en dos y no hay tres concurrentes, entonces estas rectas están en un mismo plano.
* Un plano y un círculo que no está en , tienen a lo sumo dos puntos en común.
* Si se tiene una recta l que está en el plano y una recta l’ tal que l’ = P y P l. Entonces l y l’ son rectas alabeadas.

CAPÍTULO II
PARALELISMO

* Dos rectas l1 y l2 son paralelas...