Resumen IPC- 2° Parcial- UBA XXI

CAPÍTULO 4: LAS CIENCIAS FORMALES
4.1. La matemática: constructos formales y realidad
Una demostración es una prueba lógica, no supone una prueba empírica ni afirma ni niega nada acerca de la verdad fáctica de las premisas o conclusión involucradas. En lógica, aritmética, matemática, la verdad de las proposiciones no se “demuestra” mediante ningún método experimental. Una demostración puedeverse como un argumento cuyas premisas son axiomas o postulados, y la conclusión, la conjunción de todos los teoremas deducidos. Entonces, los axiomas son proposiciones asumidas como punto de partida que no necesitan demostración, mientras que los teoremas son proposiciones derivadas lógicamente de los axiomas que requieren demostración. Sólo los “vacíos” teoremas deducidos de los axiomas sonverdaderos.
Aristóteles destaca los 3 supuestos fundamentales de la creencia demostrativa:
Supuesto de deducibilidad: La ciencia debe partir de ciertos principios (indefinibles) que sirven para definir otros términos, y debe partir de axiomas para demostrar teoremas, mediante el empleo de reglas.
Supuesto de evidencia: Los axiomas tienen que ser evidentemente verdaderos, deben aceptarse comoverdaderos sin demostración.
Supuesto de realidad: La ciencia trata de la realidad.
El prototipo de esta “presentación axiomática “son los Elementos de la Geometría de  Euclides. La geometría, que hasta entonces era una reunión de reglas empíricas para medir o dividir figuras, se convierte en ciencia deductiva: el conocimiento empírico pasa a ser conocimiento formal. Euclides emplea postulados, sumandootras reglas de “inferencia” a las reglas de la silogística aristotélica. Euclides proporciona un grupo de postulados y un grupo de axiomas. Los axiomas tienen un carácter general, mientras que los postulados son considerados como los puntos de partida específicos de cada ciencia.
Tanto los axiomas como los postulados, son considerados verdades evidentes que no tienen ni necesitan demostración.Sobre la base de ellos demuestra un conjunto de proposiciones. Estas proposiciones demostradas son los teoremas.
Saccheri demostró que existen otras geometrías no compatibles con la euclideana. Gauss, Lobachevsky, Bolyai, Riemann desarrollaron geometrías no euclideanas. Boole y De Morgan revolucionaron la lógica. La teoría de conjuntos de Cantor y la lógica de Frege aumentaron la generalización.Whitehead y Russell axiomatizan la matemática. Un matemático deriva teoremas a partir de axiomas, no decide si los axiomas son verdaderos.
El carácter formal de la lógica, se revela en el hecho de que ésta disciplina, se ocupa únicamente de estructuras formales y de las relaciones entre tales estructuras.
 4.2. Sistemas axiomáticos
Los componentes de los sistemas axiomáticos son:
Los términosprimitivos
Las definiciones
Los axiomas
Reglas (razonamientos deductivos)
Teoremas
Los términos primitivos no se definen pero sirven para definir otros términos. En un sistema axiomático se seleccionan ciertos conceptos como primitivos o sin definición, y se definen a partir de ellos todas las demás nociones necesarias.
Una demostración es un conjunto finito de enunciados donde cada uno deellos es un axioma o es una consecuencia lógica de otros enunciados anteriores, en virtud de una regla de inferencia. Dado que los axiomas se admiten como enunciados verdaderos y las reglas de inferencia son razonamientos deductivos, es decir, inferencias que trasmiten la verdad entre premisas y conclusión, los teoremas son enunciados verdaderos.
4.3. Propiedades de los sistemas axiomáticosConsistente: Un sistema es consistente si, desde los axiomas, no se puede derivar una formula y su negación (Principio de no contradicción). Si se admitiera una contradicción, entonces el sistema podría aceptar cualquier enunciado, admitiría todo los enunciados posibles, incluso los que niegan y afirman lo mismo.
Independiente: Los axiomas deben ser independientes entre si. Ningún axioma debe...